附加数学 · 在混合微积分题中找回解题方法

受限区间内比较端点与驻点

你求出了驻点，但题目限制了 x，最大值却在别处。

在受限的区间上，最大值和最小值可能出现在驻点，也可能出现在端点。把所有候选点列出来，逐个代入函数，再比较。

本课属于混合微积分题选方法这一组，建立在求驻点的基础上。

候选点清单法

利润函数是 P(x) = −x² + 12x − 20，0 ≤ x ≤ 4，x 的单位是百件，P 的单位是百令吉。

P′(x) = −2x + 12 = 0，得 x = 6。它在区间 [0, 4] 之外，不是候选点。

候选点只有端点：P(0) = −20，P(4) = −16 + 48 − 20 = 12。最大利润是 x = 4 时的 12，在端点取得。如果停在 x = 6，就会写出 P(6) = 16，但这个值在限制范围内根本不可能出现。

求 y = x³ − 9x² + 24x 在 0 ≤ x ≤ 5 内的最大值和最小值。

dy/dx = 3x² − 18x + 24 = 3(x − 2)(x − 4)，所以 x = 2 或 x = 4，两个都在区间内。

最大值是 20，在 x = 2 和 x = 5 都取得。最小值是 0，在 x = 0 取得。

x = 4 处的局部极小值是 16，但它不是区间内的最小值，因为端点 x = 0 的值更小。

常见的错误是：只给出驻点作为答案，没有检验端点。

步骤	错误	正确
候选点	只有驻点	区间内的驻点和两个端点
结论	「x = 2 时最大」	最大值是 20，在 x = 2 和 x = 5 取得

写出这张数值表。它向阅卷者证明，你检查过每一个候选点。

求 f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 在 0 ≤ x ≤ 5 内的最大值和最小值。

答案

f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)，所以 x = 1 或 x = 3。

f(0) = 1。f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5。f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1。f(5) = 125 − 150 + 45 + 1 = 21。

最大值是 x = 5 时的 21。最小值是 1，在 x = 0 和 x = 3 都取得。

想请老师检查你的候选点表格，可以了解线上一对一附加数学补习。

驻点只是局部的山顶或谷底。当 x 被限制在一个区间内，最大值有可能出现在区间的端点。你必须比较所有候选点，而不是只看驻点。

候选点是区间的两个端点，加上落在区间内的驻点。把每个候选点代入函数，再比较大小。落在区间外的驻点不算候选点。

忽略它。只有区间内的点才算数。这时最大值和最小值只可能出现在端点，直接算端点的函数值就行。

可以。函数可能在某个驻点和某个端点取得同样的最大值。这时写出两个位置，或说明最大值在这两处都取得。

如果你能正确求出转折点，却在最大值这一问丢了分，一对一课堂里老师可以反复练候选点清单，直到你不会再漏掉端点。