切线在切点给出两个事实：曲线与直线的 y 值相同，梯度也相同。每个事实写成一个方程，就能解出曲线里的未知常数。
本课属于混合微积分题选方法这一组，建立在求切线与法线的基础上。
例题一：由梯度求一个未知数
曲线 y = ax² + 3x − 1 在 x = 2 处的梯度是 11。求 a。
dy/dx = 2ax + 3。x = 2 时是 4a + 3，它等于 11。
所以 4a + 3 = 11，4a = 8，a = 2。验算：dy/dx = 4x + 3，x = 2 时等于 11。
例题二：由切线求两个未知数
直线 y = 2x + 3 与曲线 y = x³ + ax + b 在 x = 1 处相切。求 a 和 b。
梯度相同。 曲线的梯度是 3x² + a，x = 1 时是 3 + a。直线的梯度是 2，所以 3 + a = 2，a = −1。
点相同。 直线在 x = 1 时，y = 2(1) + 3 = 5。曲线在 x = 1 时，y = 1 + a + b = 1 − 1 + b = b，所以 b = 5。
验算。 曲线是 y = x³ − x + 5。x = 1 时，y = 1 − 1 + 5 = 5，dy/dx = 3 − 1 = 2。两者都与直线吻合。
例题三：题目已给出点
直线 y = 4x − 5 在 x = 3 处与曲线 y = x² + bx + 4 相切。
直线在 x = 3 时，y = 12 − 5 = 7。曲线在 x = 3 时，9 + 3b + 4 = 7，所以 3b = −6，b = −2。
用梯度验算：曲线的梯度是 2x + b = 6 + b，b = −2 时等于 4。两个条件互相吻合，答案得到确认。
会丢分的写法
常见的错误是：只用了两个条件中的一个，或者把直线的 y 截距当成曲线的值。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 点的条件 | 让直线的常数 (+3) 等于曲线的常数 | 两边都代入 x = 1，让 y 值相等 |
| 梯度条件 | 让曲线的 y 等于直线的梯度 | 让曲线的 dy/dx 等于直线的梯度 |
请分两行写过程，一行标「梯度相同」，一行标「点相同」。
自测
直线 y = 3x − 1 在 x = 2 处与曲线 y = x² + px + q 相切。求 p 和 q。
答案
梯度：dy/dx = 2x + p。x = 2 时是 4 + p，它等于 3，所以 p = −1。
点：直线在 x = 2 时，y = 6 − 1 = 5。曲线在 x = 2 时，4 + 2p + q = 4 − 2 + q = 2 + q，所以 2 + q = 5，q = 3。
验算：曲线是 y = x² − x + 3。x = 2 时，y = 4 − 2 + 3 = 5，dy/dx = 4 − 1 = 3。两者都吻合。
接下来学什么
继续读受限区间内比较端点与驻点。想看判别式的做法，可以读直线与曲线只相触一点。
想请老师检查你列出的方程，可以了解线上一对一附加数学补习。