方法取决于题目给了什么、问什么。由总量求变化率，用微分；由变化率求总量，用积分。
本课是混合微积分题选方法的第一课，需要微分的法则和定积分的计算。
已知与所求对照表
| 已知 | 所求 | 方法 |
|---|---|---|
| 位移 s(t) | 速度 | 微分 |
| 速度 v(t) | 加速度 | 微分 |
| 速度 v(t) | 区间内的位移 | 积分 |
| 流量 R(t) | 区间内的总水量 | 积分 |
| 梯度 dy/dx | 过某点的曲线 | 积分 |
| 一条曲线 | 切线、梯度或转折点 | 微分 |
例题一：一个函数，两个问题
质点的速度是 v = 3t² − 4t m/s。求 t = 2 时的加速度，以及 t = 0 到 t = 2 的位移。
加速度。 由速度求变化率，所以微分：a = dv/dt = 6t − 4。t = 2 时，a = 12 − 4 = 8 m/s²。
位移。 由速度求总量，所以积分：(3t² − 4t) 从 0 到 2 的积分是 [t³ − 2t²] 从 0 到 2，等于 (8 − 8) − 0 = 0 m。
位移是零，表示质点最后回到出发点。但路程不是零，因为质点先向后退，再向前走。
例题二：流量
水以 R = 6 − 0.5t 升每分钟的速度流入水箱，0 ≤ t ≤ 8。求流入的总水量。
题目要由变化率求总量，所以积分：(6 − 0.5t) 从 0 到 8 的积分是 [6t − 0.25t²] = 48 − 16 = 32 升。
这里 R 始终是正数（t = 8 时是 6 − 4 = 2），所以没有水流出。
会丢分的写法
常见的错误是：题目问总量，却对变化率微分。
| 题目 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 8 分钟内的总水量 | dR/dt = −0.5 | ∫₀⁸ R dt = 32 升 |
动笔之前，先把所求的量划线。如果它是随时间累积的总量，就该积分。
自测
单车手的速率是 v = 4t − t² m/s，0 ≤ t ≤ 4。求最初 3 秒内的路程，以及 t = 1 时的加速度。
答案
路程：在这个区间内速率是正数，因为 0 < t < 4 时 4t − t² = t(4 − t) > 0。积分：[2t² − t³/3] 从 0 到 3 = (18 − 9) − 0 = 9 m。
加速度：a = dv/dt = 4 − 2t。t = 1 时，a = 2 m/s²。
接下来学什么
继续读用切线条件求未知系数。也可以用多项式积分与面积探索器 (英文)练习两种工具。
想请老师陪你反复练习选方法，可以了解线上一对一附加数学补习。