附加数学 · 微分

最优化与变化率问题

题目是一段文字，你不知道该设什么、该对什么微分。

最优化问题要求某个量的最大值或最小值。做法是把这个量写成单变量函数，微分，令导数为零，检验，最后结合情境作答。

本课属于 SPM 附加数学微分单元，会用到驻点，变化率部分则用到链式法则。

固定的做法

一张 12 cm × 12 cm 的正方形硬纸板，四个角各剪去边长 x cm 的小正方形，把四边折起成开口盒子。求使体积最大的 x。

盒底边长是 (12 − 2x)，高是 x，所以 V = x(12 − 2x)²。

展开：(12 − 2x)² = 144 − 48x + 4x²，所以 V = 144x − 48x² + 4x³。

微分。 dV/dx = 144 − 96x + 12x² = 12(x² − 8x + 12) = 12(x − 2)(x − 6)。

解。 x = 2 或 x = 6。剪去的边长必须满足 0 < x < 6，x = 6 会使盒底消失，所以舍去。

检验。 d²V/dx² = 24x − 96。x = 2 时是 −48，为负，所以 V 是最大值。

结论。 最大体积是 2 × 8² = 128 cm³，每个角剪去 2 cm。

一个球形气球的半径以每秒 0.5 cm 的速度增加。求半径为 3 cm 时，体积的增加率。

V = (4/3)πr³，所以 dV/dr = 4πr²。链式法则：dV/dt = dV/dr × dr/dt = 4πr² × 0.5。

r = 3 时，dV/dt = 4π(9)(0.5) = 18π cm³ 每秒，约 56.5 cm³ 每秒。

常见的错误是：式子里还有两个变量就开始微分，或者省略检验和单位。

两个正数的和是 12。求它们的平方和的最小值。

答案

设两数为 x 和 12 − x。S = x² + (12 − x)² = 2x² − 24x + 144。

dS/dx = 4x − 24 = 0，得 x = 6。d²S/dx² = 4 > 0，所以 S 是最小值。

最小的平方和是 36 + 36 = 72，此时两数都是 6。

下一课是小变化与近似值。如果 x 被限制在区间内，请读比较端点与驻点。

想请老师帮你把文字题写成函数，可以了解线上一对一附加数学补习。

先写明要求最大或最小的是哪个量，再把它写成只含一个变量的函数，必要时用题目给的条件消去另一个变量。这之后才微分，令导数等于零。

用二阶导数。代入你的值后是负数就是最大值，是正数就是最小值。这一步很短，不要省略。

两个量（例如半径和体积）都随时间变化，并由一条公式联系在一起。对公式用链式法则微分，把 dV/dr 乘以 dr/dt，就得到 dV/dt。

要。结论应结合情境，例如「每边剪去 2 cm 时，体积最大为 128 cm³」。单位说明你看懂了情境，漏写可能丢一分。

如果你会微分，却不会把应用题变成函数，一对一课堂里老师可以用新情境和你练习这一步翻译。