Dalam selang terhad, nilai terbesar dan terkecil boleh berlaku pada titik pegun atau titik hujung. Senaraikan setiap calon, nilaikan fungsi pada setiap satu, dan bandingkan.
Pelajaran ini sebahagian daripada memilih kaedah dalam masalah kalkulus campuran. Ia bersandar pada mencari titik pegun.
Apa kaedah senarai calon?
- Bezakan dan selesaikan dy/dx = 0.
- Simpan hanya penyelesaian yang berada dalam selang diberi.
- Nilaikan fungsi pada titik-titik itu dan pada kedua-dua titik hujung.
- Nilai terbesar ialah yang paling besar, dan nilai terkecil ialah yang paling kecil.
Contoh 1: titik pegun berada di luar selang
Fungsi keuntungan ialah P(x) = −x² + 12x − 20 untuk 0 ≤ x ≤ 4, dengan x dalam ratus unit dan P dalam ratus RM.
P′(x) = −2x + 12 = 0 memberi x = 6. Nilai ini berada di luar selang [0, 4], maka ia bukan calon.
Calonnya ialah titik hujung: P(0) = −20 dan P(4) = −16 + 48 − 20 = 12. Keuntungan terbesar ialah 12 pada x = 4, iaitu titik hujung. Pelajar yang berhenti pada x = 6 akan menulis P(6) = 16, nilai yang tidak mungkin berlaku dalam had itu.
Contoh 2: dua nilai sama
Cari nilai terbesar dan terkecil bagi y = x³ − 9x² + 24x untuk 0 ≤ x ≤ 5.
dy/dx = 3x² − 18x + 24 = 3(x − 2)(x − 4), maka x = 2 atau x = 4. Kedua-duanya berada dalam selang.
| x | y = x³ − 9x² + 24x |
|---|---|
| 0 (titik hujung) | 0 |
| 2 (pegun) | 8 − 36 + 48 = 20 |
| 4 (pegun) | 64 − 144 + 96 = 16 |
| 5 (titik hujung) | 125 − 225 + 120 = 20 |
Nilai terbesar ialah 20, dicapai pada x = 2 dan x = 5. Nilai terkecil ialah 0 pada x = 0.
Minimum setempat pada x = 4 bernilai 16, tetapi ia bukan nilai terkecil dalam selang, kerana titik hujung x = 0 memberi nilai yang lebih kecil.
Kesilapan yang menghilangkan markah
Kesilapan lazim ialah memberi titik pegun sebagai jawapan tanpa menguji titik hujung.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Calon | Titik pegun sahaja | Titik pegun dalam selang dan kedua-dua titik hujung |
| Kesimpulan | “Maksimum pada x = 2” | “Nilai terbesar ialah 20, pada x = 2 dan x = 5” |
Tulis jadual nilai. Ia menunjukkan kepada pemeriksa bahawa anda telah menyemak setiap calon.
Semak kendiri
Cari nilai terbesar dan terkecil bagi f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 untuk 0 ≤ x ≤ 5.
Jawapan
f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3), maka x = 1 atau x = 3.
f(0) = 1. f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5. f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1. f(5) = 125 − 150 + 45 + 1 = 21.
Nilai terbesar ialah 21 pada x = 5. Nilai terkecil ialah 1, dicapai pada x = 0 dan x = 3.
Apa langkah seterusnya?
Teruskan ke makna terbitan negatif dalam sesuatu model, atau cuba set latihan bersepadu.
Jika anda mahu seorang guru menyemak jadual calon anda, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.