这些题混合了微分和积分，没有一道会告诉你用哪个。所有数字都是原创，每个答案都有过程和验算。
请在纸上作答，选错方法的地方记进错题本与试卷错误检讨。
题目与答案
第 1 题。 对每一句话，判断你会微分还是积分，不必求解。
- (a) 已知体积，求它变化得有多快。
- (b) 已知流量，求总体积。
- (c) 求曲线在某点的梯度。
- (d) 已知 dy/dx，求曲线方程。
答案
(a) 微分：由总量求变化率。(b) 积分：由变化率求总量。(c) 微分：求梯度。(d) 积分：由梯度求原函数。
第 2 题。 曲线 y = x² + px + 3 在 x = 2 处的梯度是 5。求 p。
答案
dy/dx = 2x + p。x = 2 时：4 + p = 5，所以 p = 1。验算：dy/dx = 2x + 1，x = 2 时等于 5。
第 3 题。 曲线 y = ax³ + bx 有一个驻点 (1, −2)。求 a 和 b。
答案
点：y = a + b = −2。驻点：dy/dx = 3ax² + b，x = 1 时 3a + b = 0。
第二个方程减第一个：2a = 2，所以 a = 1，b = −3。
验算：y = x³ − 3x，y(1) = −2，dy/dx = 3 − 3 = 0。
第 4 题。 曲线的 dy/dx = 6x − 4，且经过 (1, 5)。求曲线方程。
答案
积分：y = 3x² − 4x + c。代入 (1, 5)：5 = 3 − 4 + c，所以 c = 6。
曲线是 y = 3x² − 4x + 6。验算：x = 1 时，y = 3 − 4 + 6 = 5。
第 5 题。 利润是 P = 8x − x²，0 ≤ x ≤ 3。求最大利润。
答案
P′ = 8 − 2x = 0，得 x = 4，在区间之外。
比较端点：P(0) = 0，P(3) = 24 − 9 = 15。最大利润是 x = 3 时的 15。
第 6 题。 液体的量是 V = 80 − 5t + 0.05t² 升，t 是分钟，0 ≤ t ≤ 20。描述 t = 10 时 V 怎样变化。
答案
dV/dt = −5 + 0.1t。t = 10 时：−5 + 1 = −4。
t = 10 时，体积正以每分钟 4 升的速度减少。
第 7 题。 水以 R = 12 − t 升每分钟的速度流入水箱，0 ≤ t ≤ 6。求流入的总水量。
答案
积分：(12 − t) 从 0 到 6 的积分是 [12t − t²/2] = 72 − 18 = 54 升。
第 8 题。 质点的速度是 v = t² − 4t + 3 m/s。求 (a) 它静止的时刻，(b) t = 0 时的加速度，(c) t = 0 到 t = 1 的位移。
答案
(a) v = (t − 1)(t − 3) = 0，所以 t = 1 和 t = 3。
(b) a = dv/dt = 2t − 4，所以 t = 0 时 a = −4 m/s²。
(c) 积分：[t³/3 − 2t² + 3t] 从 0 到 1 = 1/3 − 2 + 3 = 4/3 m。
做错了怎么办
- 第 1 题，请读微分还是积分：看所求的量。
- 第 2、3 题，请读用切线条件求未知系数。
- 第 5 题，请读比较端点与驻点。
- 第 6 题，请读负导数的意义。
回到混合微积分总览查看学习顺序。想请老师看你怎样选方法，可以了解线上一对一附加数学补习。