Tangen memberi dua fakta pada titik sentuhan: lengkung dan garis mempunyai nilai y yang sama, dan kecerunan yang sama. Setiap fakta menjadi satu persamaan, yang membolehkan anda mencari pemalar tidak diketahui dalam lengkung.
Pelajaran ini sebahagian daripada memilih kaedah dalam masalah kalkulus campuran. Ia bersandar pada mencari persamaan tangen dan normal.
Contoh 1: satu nilai tidak diketahui daripada kecerunan
Lengkung y = ax² + 3x − 1 mempunyai kecerunan 11 pada x = 2. Cari a.
dy/dx = 2ax + 3. Pada x = 2 nilainya 4a + 3, dan ia sama dengan 11.
Maka 4a + 3 = 11, memberi 4a = 8 dan a = 2. Semak: dy/dx = 4x + 3 = 11 pada x = 2.
Contoh 2: dua nilai tidak diketahui daripada garis tangen
Garis y = 2x + 3 ialah tangen kepada lengkung y = x³ + ax + b pada titik dengan x = 1. Cari a dan b.
Kecerunan sama. Kecerunan lengkung ialah 3x² + a, yang bernilai 3 + a pada x = 1. Kecerunan garis ialah 2, maka 3 + a = 2 dan a = −1.
Titik sama. Garis pada x = 1 mempunyai y = 2(1) + 3 = 5. Lengkung pada x = 1 mempunyai y = 1 + a + b = 1 − 1 + b = b, maka b = 5.
Semak. Lengkung itu ialah y = x³ − x + 5. Pada x = 1: y = 1 − 1 + 5 = 5, dan dy/dx = 3 − 1 = 2. Kedua-duanya sepadan dengan garis.
Contoh 3: titik dinyatakan
Garis y = 4x − 5 ialah tangen kepada y = x² + bx + 4 pada x = 3.
Garis pada x = 3 memberi y = 12 − 5 = 7. Lengkung pada x = 3 memberi 9 + 3b + 4 = 7, maka 3b = −6 dan b = −2.
Semakan kecerunan: kecerunan lengkung ialah 2x + b = 6 + b, yang sama dengan 4 apabila b = −2. Kedua-dua syarat sepakat, dan ini mengesahkan jawapan.
Kesilapan yang menghilangkan markah
Kesilapan lazim ialah menggunakan hanya satu daripada dua syarat, atau menggunakan pintasan-y garis seolah-olah ia nilai lengkung.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Syarat titik | Samakan pemalar garis (+3) dengan pemalar lengkung | Gantikan x = 1 ke dalam kedua-duanya dan samakan nilai y |
| Syarat kecerunan | Samakan y lengkung dengan kecerunan garis | Samakan dy/dx lengkung dengan kecerunan garis |
Sentiasa tulis dua baris kerja berasingan, satu bertajuk “kecerunan sama” dan satu bertajuk “titik sama”.
Semak kendiri
Garis y = 3x − 1 ialah tangen kepada lengkung y = x² + px + q pada titik dengan x = 2. Cari p dan q.
Jawapan
Kecerunan: dy/dx = 2x + p. Pada x = 2 nilainya 4 + p, yang sama dengan 3, maka p = −1.
Titik: garis pada x = 2 memberi y = 6 − 1 = 5. Lengkung pada x = 2 memberi 4 + 2p + q = 4 − 2 + q = 2 + q, maka 2 + q = 5 dan q = 3.
Semak: lengkung itu ialah y = x² − x + 3. Pada x = 2: y = 4 − 2 + 3 = 5 dan dy/dx = 4 − 1 = 3. Kedua-duanya sepadan.
Apa langkah seterusnya?
Teruskan dengan membandingkan titik hujung dan titik pegun dalam pengoptimuman berkekangan. Untuk laluan pembezalayan tentu bagi masalah yang serupa, lihat garis menyentuh lengkung pada satu titik.
Jika anda mahu seorang guru menyemak persamaan yang anda bina, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.