附加数学 · 微分

求切线与法线方程

你会微分，但把梯度写成直线方程时就开始丢分。

导数给出曲线在某点的切线梯度。有了点和梯度，就能写出直线方程。法线是过同一点、与切线垂直的直线。

本课属于 SPM 附加数学微分单元。写直线方程这一步，来自平行与垂直直线的方程。

四个步骤怎么走？

求曲线 y = x² − 3x + 4 在 x = 3 处的切线和法线。

点： y = 9 − 9 + 4 = 4，所以点是 (3, 4)。

梯度： dy/dx = 2x − 3，x = 3 时等于 3。

切线： y − 4 = 3(x − 3)，所以 y = 3x − 5。

法线：梯度是 −1/3，所以 y − 4 = −(1/3)(x − 3)。两边乘 3：3y − 12 = −x + 3，得 x + 3y = 15。

验算：(3, 4) 在两条线上。法线方程代入得 3 + 12 = 15。

求曲线 y = x² − 3x + 4 上，切线与 y = 5x − 2 平行的点。

所需梯度是 5，所以 2x − 3 = 5，解得 x = 4。再求 y = 16 − 12 + 4 = 8，所以点是 (4, 8)。

验算梯度：x = 4 时 dy/dx = 8 − 3 = 5，符合要求。

有两种错误一再出现：把 y 值当成梯度，以及转成法线时忘了负号。

步骤	错误	正确
x = 3 处的梯度	y = 4，所以 m = 4	dy/dx = 2(3) − 3 = 3
法线梯度	1/3 或 −3	−1/3

梯度永远来自 dy/dx，而不是曲线的函数值。快速检验：切线与法线的梯度相乘应得 −1，而 3 × (−1/3) = −1。

求曲线 y = x³ − 2x 在 x = 2 处的切线和法线。

答案

点：y = 8 − 4 = 4，所以是 (2, 4)。

梯度：dy/dx = 3x² − 2 = 12 − 2 = 10。

切线：y − 4 = 10(x − 2)，所以 y = 10x − 16。

法线：梯度是 −1/10，所以 y − 4 = −(1/10)(x − 2)。两边乘 10：10y − 40 = −x + 2，得 x + 10y = 42。验算：2 + 40 = 42。

下一课是求驻点并判断性质。想挑战难一点的版本，题目里有未知系数，可以试用切线条件求未知系数。

想请老师一对一过一遍你的切线和法线解题过程，可以了解线上一对一附加数学补习。

切线在某点与曲线相触，梯度等于曲线在该点的梯度。法线在同一点与切线垂直，所以它的梯度是切线梯度的负倒数。

先把 x 代入曲线方程求出 y。写任何直线之前，你都需要点的两个坐标，再加上由导数得到的梯度。

平行的直线梯度相等。令 dy/dx 等于已知直线的梯度，解出 x，再代入曲线求 y。

除非题目指定形式，两种写法都可以。过程中用 y − y₁ = m(x − x₁)，最后化简成题目要求的形式，再把点代入验算。

如果微分这一步没问题，直线方程却写错，一对一课堂里老师可以把这两项技能分开检查，专门补较弱的一项。