Kaedah bergantung pada apa yang diberi dan apa yang diminta. Daripada jumlah kepada kadar, bezakan. Daripada kadar kepada jumlah, amirkan.
Pelajaran ini membuka memilih kaedah dalam masalah kalkulus campuran. Ia memerlukan petua daripada pembezaan dan menilai kamiran tentu.
Jadual diberi-dan-diminta
| Anda diberi | Anda diminta | Kaedah |
|---|---|---|
| Sesaran s(t) | Halaju | Bezakan |
| Halaju v(t) | Pecutan | Bezakan |
| Halaju v(t) | Sesaran dalam suatu selang | Amirkan |
| Kadar aliran R(t) | Jumlah isi padu dalam suatu selang | Amirkan |
| Kecerunan dy/dx | Lengkung melalui satu titik | Amirkan |
| Suatu lengkung | Tangen, kecerunan atau titik pusingan | Bezakan |
Contoh 1: satu fungsi, dua soalan
Sebutir zarah bergerak dengan halaju v = 3t² − 4t m/s. Cari pecutannya pada t = 2, dan sesarannya dari t = 0 hingga t = 2.
Pecutan. Soalan meminta kadar daripada halaju, maka bezakan: a = dv/dt = 6t − 4. Pada t = 2, a = 12 − 4 = 8 m/s².
Sesaran. Soalan meminta jumlah daripada halaju, maka amirkan: kamiran (3t² − 4t) dari 0 hingga 2 ialah [t³ − 2t²] dari 0 hingga 2 = (8 − 8) − 0 = 0 m.
Sesaran sifar bermakna zarah berakhir di tempat ia bermula. Jarak yang dilalui bukan sifar, kerana zarah bergerak ke depan kemudian ke belakang.
Contoh 2: kadar aliran
Air mengalir masuk ke dalam tangki pada R = 6 − 0.5t liter seminit untuk 0 ≤ t ≤ 8. Cari jumlah isi padu yang mengalir masuk.
Soalan meminta jumlah daripada kadar, maka amirkan: kamiran (6 − 0.5t) dari 0 hingga 8 ialah [6t − 0.25t²] = 48 − 16 = 32 liter.
Kadar sentiasa positif di sini (6 − 4 = 2 pada t = 8), maka tiada air mengalir keluar.
Kesilapan yang menghilangkan markah
Kesilapan lazim ialah membezakan kadar apabila soalan meminta jumlah.
| Soalan | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Jumlah air dalam 8 minit | dR/dt = −0.5 | ∫₀⁸ R dt = 32 liter |
Garis bawahi kuantiti yang diminta sebelum bermula. Jika ia jumlah terkumpul dari semasa ke semasa, anda sedang mengamirkan.
Semak kendiri
Laju seorang penunggang basikal ialah v = 4t − t² m/s untuk 0 ≤ t ≤ 4. Cari jarak yang dilalui dalam 3 saat pertama, dan pecutan pada t = 1.
Jawapan
Jarak: laju positif dalam selang ini, kerana 4t − t² = t(4 − t) > 0 untuk 0 < t < 4. Amirkan: [2t² − t³/3] dari 0 hingga 3 = (18 − 9) − 0 = 9 m.
Pecutan: a = dv/dt = 4 − 2t. Pada t = 1, a = 2 m/s².
Apa langkah seterusnya?
Teruskan dengan menggunakan syarat tangen untuk mencari pekali tidak diketahui. Latih kedua-dua alat pada penjelajah pengamiran polinomial dan luas (Bahasa Inggeris).
Jika anda mahu seorang guru melatih pemilihan kaedah bersama anda, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.