正态曲线上涂色的区域，就是你要求的概率的图像。先从图写出表达式，再检查答案的大小和涂色占曲线的比例是否吻合。
这一课属于选择合适的概率模型。尾部的技巧在读出正态分布的尾部概率里教过。
每种涂色的形状怎样变成表达式？
整条曲线的面积是 1。从分布表取右尾 Q(z)，其余的都由它推出。
| 涂色的区域 | 用 Q 写出的表达式 | 大致的大小 |
|---|---|---|
| 正 z 之外的右尾 | Q(z) | z 大则很小 |
| 负 z 以下的左尾 | Q(a)，a = −z | a 大则很小 |
| 正 z 左边的一切 | 1 − Q(z) | 大于 0.5 |
| 横跨均值的中间一段 | 1 − Q(z₁) − Q(z₂) | 常常大于 0.5 |
最后一行的意思是：取整条曲线，再拿掉两个没涂色的尾部。
例题：中间的一段
这是一道原创题。某路虚构公交车所需的时间 X 分钟服从正态分布，均值 40，标准差 5。图中涂色的区域在 X = 35 和 X = 47 之间。求概率。
- 把两端标准化。35 的 z = (35 − 40) ÷ 5 = −1。47 的 z = (47 − 40) ÷ 5 = 1.4。
- 描述图形。这一段横跨均值，是很大的中央区域。没涂色的部分是 z = −1 以下的左尾，和 z = 1.4 以上的右尾。
- 写出表达式：P(35 < X < 47) = 1 − Q(1) − Q(1.4)。
- 查表：Q(1) = 0.1587，Q(1.4) = 0.0808。
- 计算：1 − 0.1587 − 0.0808 = 0.7605。
大小检查：这一段从均值下方 1 个标准差，延伸到均值上方 1.4 个标准差，曲线的大部分都涂了色，0.76 与此吻合。
最容易丢分的地方
常见的失误，是把两端都当成右尾来相减，写成 Q(1.4) − Q(1)。解题过程看起来像两个表值相减，所以感觉没问题。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 表达式 | Q(1.4) − Q(1) | 1 − Q(1) − Q(1.4) |
| 计算 | 0.0808 − 0.1587 | 1 − 0.1587 − 0.0808 |
| 结果 | −0.0779 | 0.7605 |
| 大小检查 | 负数，不可能 | 很大，与这一段吻合 |
负的概率是明显的警号。另一个警号，是覆盖曲线中间的区域，答案却像 0.08 这么小。
同样的想法用在单边的形状
假设图中涂色的是 X = 47 右边的一切。这个区域是细细的右尾，所以答案应该很小。
P(X > 47) = Q(1.4) = 0.0808。
如果你的解题过程给出 0.9192，你求的其实是左边的部分。大小检查会显示出不一致：一条细细的尾巴不可能占 92% 的概率。
自己试试
X ~ N(30, 4²)。图中涂色的区域在 X = 28 和 X = 36 之间。求概率，并在计算之前说出你预期的大小。
答案
这里 σ = 4。28 的 z = (28 − 30) ÷ 4 = −0.5。36 的 z = (36 − 30) ÷ 4 = 1.5。
这一段横跨均值，由下方 0.5 延伸到上方 1.5，所以预期答案很大，大于 0.5。
P = 1 − Q(0.5) − Q(1.5) = 1 − 0.3085 − 0.0668 = 0.6247。
答案很大，与预期一致。
下一步学什么
这个主题的四个技能会在混合题里汇合。试试综合练习，并用错题记录记下每一个出错的步骤。
如果希望老师对照你的草图和解题过程，可以了解附加数学一对一线上补习。