要从百分位求分数，先把分布表倒着查得到 z，再用 X = μ + zσ。先画曲线，因为图会告诉你 z 是正还是负。
这一课属于选择合适的概率模型，建立在把正态随机变量标准化之上。
计算朝哪个方向走？
正方向是先有分数，求出 z = (X − μ) ÷ σ，再读出面积。反方向是先有面积，从分布表读出 z，再还原出分数。
分布表列出的是正 z 的右尾面积 Q(z)。所以题目说“最高的 10%”，就是面积 0.10 的右尾，可以直接读出 z。
例题：最高的 10%
这是一个原创例子。在一次虚构的学校测验里，分数服从正态分布，均值 60，标准差 8。最高的 10% 分数在 k 以上。求 k。
- 画曲线，把面积 0.10 的右尾涂色。它在均值之上，所以 z > 0。
- 求 Q(z) = 0.10 的 z。分布表给出 Q(1.28) = 0.1003，所以 z ≈ 1.28。
- 还原分数：k = 60 + 1.28 × 8 = 60 + 10.24 = 70.24。
- 检查：(70.24 − 60) ÷ 8 = 1.28，又回到同一个 z。
所以在那次测验里，这个虚构群体中约有十分之一的人得分超过 70.24。这只是关于那个群体和那次测验的陈述。
例题：最低的 20%
还是同一次测验。最低的 20% 分数在 m 以下。求 m。
涂色的面积在左边，在均值之下，所以 z 是负的。分布表只有右尾，所以用对称性：左尾 0.20 的 z，是右尾 0.20 的 z 的相反数。
Q(z) = 0.20 得 z ≈ 0.84（分布表有 Q(0.84) = 0.2005）。所以左尾的 z 是 −0.84。
m = 60 − 0.84 × 8 = 60 − 6.72 = 53.28。
最容易丢分的地方
常见的失误，是在下尾的题用了正的 z，写成 m = 60 + 0.84 × 8 = 66.72。66.72 高于均值，可是题目问的是最低的 20%。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 涂色的尾巴在哪里？ | （跳过） | 在均值左边 |
| z 的正负 | +0.84 | −0.84 |
| 分数 m | 66.72 | 53.28 |
| 快速检查 | 高于均值，不可能是最低的 20% | 低于均值 |
补救的办法是画图。动分布表之前，先标出均值，把尾巴涂色。尾巴在均值左边，分数就一定比均值小。
关于百分位与成绩
题目里的百分位，描述的是一个虚构群体里的位置。它并不告诉你拿到什么分数就能得某个 SPM 等级，这一课也不预测任何真实的结果。这一课只讲怎样从面积回到分数的方法。
自己试试
某次虚构测验的分数服从正态分布，均值 50，标准差 10。最高的 2.5% 分数在 k 以上。求 k。
答案
涂色的是面积 0.025 的右尾，所以 z > 0。
Q(z) = 0.025 得 z = 1.96。
k = 50 + 1.96 × 10 = 50 + 19.6 = 69.6。
检查：(69.6 − 50) ÷ 10 = 1.96。
下一步学什么
会还原分数之后，下一个技能是用图来检查答案。接着学让概率计算与涂色图吻合。相关的考试技能是求正态分布的未知参数。
如果希望老师在你自己的题目上反复练反方向，可以了解附加数学一对一线上补习。