这八道原创题混合了选择合适的概率模型里的各个技能。Q(z) 的值请用正态分布表。计算之前，先写出你选的模型。
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题目
第 1 题
一位检验员从一条很长的生产线上抽查 10 件产品。每件产品有缺陷的概率是 0.03，各件之间独立。设 X 为有缺陷的产品数。
(a) 说出模型，并说明为什么适用。(b) 求 P(X = 0)，答案取 4 位小数。
答案
(a) X ~ B(10, 0.03)。试验次数固定（10 次），每件产品不是有缺陷就是没有，每件的概率相同，而且各件独立。
(b) P(X = 0) = 0.97¹⁰ = 0.7374。
第 2 题
一个袋子里有 8 个代币，其中 3 个是金色。一个接一个地抽出 3 个，不放回。说明金色代币的数量为什么不是二项，并求三个都是金色的概率。
答案
代币不放回，所以每次抽到金色的概率都在变。概率不变的条件不成立，各次抽取也不独立。
P(三个都是金色) = (3/8) × (2/7) × (1/6) = 6/336 = 1/56 ≈ 0.0179。
第 3 题
X ~ B(5, 0.25)。求 P(X ≥ 1)。
答案
X ≥ 1 的补集是 X = 0。
P(X ≥ 1) = 1 − 0.75⁵ = 1 − 0.2373 = 0.7627。
第 4 题
某种虚构芒果的质量服从正态分布，均值 400 克，标准差 30 克。随机挑一个芒果，求它的质量超过 445 克的概率。
答案
z = (445 − 400) ÷ 30 = 1.5。涂色的是右尾，所以 P = Q(1.5) = 0.0668。
尾巴很细，所以预期答案很小。
第 5 题
某个游戏每次尝试获胜的概率是 0.3，各次独立。求最小的尝试次数 n，使得至少赢一次的概率超过 0.95。
答案
写出 1 − 0.7ⁿ > 0.95，所以 0.7ⁿ < 0.05。
两边取对数，并把不等号反转，n > log 0.05 ÷ log 0.7 = 8.40。
检查：0.7⁸ = 0.0576 不小于 0.05，0.7⁹ = 0.0404 才小于。所以 n = 9。
第 6 题
某次虚构测验的分数服从正态分布，均值 72，标准差 12。最高的 10% 分数在 k 以上。求 k。
答案
涂色的是面积 0.10 的右尾，所以 z > 0。Q(z) = 0.10 得 z = 1.28。
k = 72 + 1.28 × 12 = 72 + 15.36 = 87.36。
这只是在虚构群体里的位置，并不预测任何真实的 SPM 成绩。
第 7 题
X ~ N(25, 2²)。图中涂色的区域在 X = 24 和 X = 27.5 之间。有位同学把答案写成 Q(1.25) − Q(0.5) = −0.2029。说明错在哪里，再求正确的概率。
答案
概率不可能是负数，所以这个相减是错的。这位同学把两端都当成右尾了。
标准化：24 的 z = (24 − 25) ÷ 2 = −0.5。27.5 的 z = (27.5 − 25) ÷ 2 = 1.25。
这一段横跨均值，所以预期概率大于 0.5。
P = 1 − Q(0.5) − Q(1.25) = 1 − 0.3085 − 0.1056 = 0.5859。
第 8 题
在一个虚构的农场里，每颗蛋破裂的概率是 0.1，各颗独立。一个托盘有 20 颗蛋。设 X 为破裂的蛋数。
(a) 写出模型。(b) 求 P(X ≥ 2)，答案取 4 位小数。
答案
(a) X ~ B(20, 0.1)。
(b) P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1)。
P(X = 0) = 0.9²⁰ = 0.121 58。P(X = 1) = 20 × 0.1 × 0.9¹⁹ = 0.270 17。
P(X ≥ 2) = 1 − 0.121 58 − 0.270 17 = 1 − 0.391 75 = 0.6083。
常见的失误是写成 1 − P(X = 1)，漏了 P(X = 0) 这一项。
做错了怎么办
| 题号 | 要回头复习的技能 |
|---|---|
| 1 和 2 | 重复的事件为什么不一定是二项 |
| 3、5 和 8 | 用补集简化“至少”的概率 |
| 6 | 从正态百分位反推原始分数 |
| 4 和 7 | 让概率计算与涂色图吻合 |
把每一个错误的步骤记在错题记录里。如果同样的失误一再出现，可以了解附加数学一对一线上补习。