二项模型需要的不只是重复的事件。试验次数要固定，每次只有两种结果，概率每次相同，而且互相独立。
这一课属于选择合适的概率模型。如果这些条件对你还很陌生，先读认出二项分布的条件。
同一次抽取怎么会有两个答案？
看一个原创的例子。一个盒子里有 12 颗糖，其中 5 颗是红色。一颗一颗地取出 3 颗，X 是红糖的数量。
情况 A：有放回。 每取一颗就放回去再取下一颗。每次取到红糖的概率都是 5/12，而且各次独立，所以 X ~ B(3, 5/12)。
P(X = 3) = (5/12)³ = 125/1728 ≈ 0.0723
情况 B：无放回。 取出来的糖不放回去。取走一颗红糖之后，11 颗里只剩 4 颗红糖。
P(X = 3) = (5/12) × (4/11) × (3/10) = 60/1320 = 1/22 ≈ 0.0455
两个答案不同，因为每拿走一颗红糖，取到红糖的概率就下降。情况 B 不满足概率不变的条件，所以用二项公式会把答案高估。
重复的事件有哪几种失败方式？
按顺序检查条件，很快就能发现问题。
| 条件 | 要问的问题 | 不成立的例子 |
|---|---|---|
| 试验次数固定 | 开始之前 n 就确定了吗？ | 掷骰子，直到第一次出现 6 |
| 两种结果 | 每次试验不是成功就是失败吗？ | 记录每次掷骰子的点数（六种结果） |
| 概率不变 | 每次的 p 都相同吗？ | 无放回地抽糖 |
| 互相独立 | 一次的结果会影响下一次吗？ | 一位球员命中后更有信心，下一次投篮受到影响 |
第一行值得多看一眼。“掷到第一次出现 6 为止”虽然重复了事件，但 n 不固定，所以掷的次数不是二项。
最容易丢分的地方
常见的失误，是看到“三颗糖”和“12 颗里有 5 颗红糖”，就写成 X ~ B(3, 5/12)，却没有读清楚糖是怎样取出来的。解题过程看起来很整齐，所以看不出有什么不对。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 读取样的方式 | （跳过） | “一颗一颗取，不放回” |
| 检验 p 是否不变 | 直接假设 | 5/12，然后 4/11，然后 3/10：不是常数 |
| 模型 | B(3, 5/12) | 把条件概率相乘 |
| P(X = 3) | 0.0723 | 0.0455 |
补救的办法，是在题目里把说明试验怎样进行的那句话划线，例如“放回”“从一大批中随机抽取”或“独立地”。这句话决定模型适不适用。
自己试试
一个盒子里有 10 支笔，其中 4 支是蓝色。一支接一支地取出 2 支，不放回。设 X 为蓝笔的数量。说明 X 为什么不是二项，并求 P(X = 2)。
答案
笔没有放回，所以取到蓝笔的概率从 4/10 变成第二次的 3/9。两次抽取不独立，所以 X 不是二项。
P(X = 2) = (4/10) × (3/9) = 12/90 = 2/15 ≈ 0.133。
作为对比，错误地用二项会得到 (4/10)² = 0.16。
下一步学什么
模型对了之后，有一个常用的捷径值得认识。接着学用补集简化“至少”的概率，再试这个主题的练习。
如果希望老师给你隐藏了不成立条件的题目，可以了解附加数学一对一线上补习。