附加数学 · 概率分布

读出正态分布的尾部概率

z 值算出来了，却不知道该直接查表还是要再减。

分布表给的是 Q(z)，也就是正 z 右边的面积。其余所有的概率都由它推出：右尾是 Q(z)，左尾按正负号是 1 − Q(z) 或 Q(a)。

怎样把每个尾部对应到表达式？

画一条钟形曲线，标出均值，再把题目要求的区域涂色。然后对照下面的表。

关键的习惯是看图来决定，而不是只看正负号。正负号告诉你在均值的哪一边，涂色告诉你是哪一个尾部。

这是一组原创的题目。某种虚构芒果的质量 X（单位克）服从正态分布 X ~ N(400, 30²)。求三个概率。

(a) P(X > 445)。 区域是右尾。z = (445 − 400) ÷ 30 = 1.5。所以 P = Q(1.5) = 0.0668。

(b) P(X < 370)。 区域是左尾。z = (370 − 400) ÷ 30 = −1。负 z 的左边，所以 P = Q(1) = 0.1587。

(c) P(370 < X < 445)。 这是中间的一段。从整条曲线里减去两个尾部。

P = 1 − 0.1587 − 0.0668 = 0.7745。

大小检查：这一段从均值下方 1 个标准差，延伸到均值上方 1.5 个标准差，涂色的面积占曲线的大部分，0.77 合理。

常见的失误，是在负 z 的地方查正数的表值，然后把它当成上尾，再用 1 去减。(b) 这样做会得到 1 − 0.1587 = 0.8413，它其实是 370 右边的区域。

大小检查很快：370 在均值下方 1 个标准差，它以下的面积应该很小，而不是很大。

还是同样的芒果。求 P(X < 430)。

z = (430 − 400) ÷ 30 = 1。区域是正 z 左边的一切，所以 P = 1 − Q(1) = 1 − 0.1587 = 0.8413。

这里答案很大，因为涂色的区域包含了曲线的整个左半边。

X ~ N(20, 2²)。求 P(X < 17) 和 P(X > 17)。

答案

z = (17 − 20) ÷ 2 = −1.5。

P(X < 17) 是负 z 以下的左尾，等于 Q(1.5) = 0.0668。

P(X > 17) 是曲线的其余部分，等于 1 − 0.0668 = 0.9332。

两个答案相加必须是 1，而它们确实是。

下一步是用尾部概率去求未知的数值。接着学求正态分布的未知参数，或者用让概率计算与涂色图吻合加强图形检查。

如果希望老师看着你在新题目上画图涂色，可以了解附加数学一对一线上补习。

Q(z) 是标准正态曲线下 z 右边的面积，也就是 P(Z > z)。SPM 的分布表只列出正 z 的 Q(z)，其他的尾部要用对称性和总面积 1 来推出。

正 z 左边的区域包含整个左半边再多一些，所以 P(X < k) = 1 − Q(z)。只查 Q(z) 得到的只是右边细细的一条尾巴。

用对称性。−a 以下的左尾，面积等于 a 以上的右尾，所以 P(Z < −a) = Q(a)。先画图，才知道自己要的是哪一边。

查表没错，却选错尾部？一对一补习的老师可以请学生每题说出怎样画图涂色，直到选尾部不再靠猜。