Model binomial memerlukan lebih daripada peristiwa yang berulang. Bilangan percubaan mesti tetap, setiap percubaan mempunyai dua hasil dengan kebarangkalian yang sama setiap kali, dan percubaan itu tidak bersandar antara satu sama lain.
Pelajaran ini sebahagian daripada memilih model kebarangkalian yang betul. Jika syarat itu sendiri baharu bagi anda, baca mengenal pasti syarat binomial dahulu.
Bagaimana pengambilan yang sama memberi dua jawapan berbeza?
Berikut contoh asli. Sebuah kotak mengandungi 12 biji gula-gula, dan 5 daripadanya merah. Tiga biji diambil satu demi satu, dan X ialah bilangan gula-gula merah.
Kes A: dengan pengembalian. Setiap gula-gula dikembalikan sebelum pengambilan seterusnya. Kebarangkalian merah ialah 5/12 setiap kali, dan pengambilan tidak bersandar, maka X ~ B(3, 5/12).
P(X = 3) = (5/12)³ = 125/1728 ≈ 0.0723
Kes B: tanpa pengembalian. Gula-gula tidak dikembalikan. Selepas satu gula-gula merah diambil, hanya 4 merah tinggal daripada 11.
P(X = 3) = (5/12) × (4/11) × (3/10) = 60/1320 = 1/22 ≈ 0.0455
Jawapannya berbeza kerana kebarangkalian merah jatuh dengan setiap gula-gula merah yang dikeluarkan. Kes B gagal dalam syarat kebarangkalian malar, maka rumus binomial akan melebihkan jawapan.
Apa cara peristiwa berulang boleh gagal?
Menyemak syarat mengikut turutan menangkap kegagalan dengan cepat.
| Syarat | Soalan untuk ditanya | Contoh yang gagal |
|---|---|---|
| Bilangan percubaan tetap | Adakah n dinyatakan sebelum bermula? | Gulung dadu sehingga enam pertama muncul |
| Dua hasil | Adakah setiap percubaan berjaya atau gagal? | Catat skor pada setiap gulungan (enam hasil) |
| Kebarangkalian malar | Adakah p sama setiap kali? | Gula-gula diambil tanpa pengembalian |
| Kebebasan | Adakah satu keputusan mempengaruhi yang seterusnya? | Dua rembatan oleh pemain yang yakin selepas satu jaringan |
Baris pertama patut dilihat dua kali. “Gulung sehingga enam pertama” mengulang satu peristiwa, tetapi n tidak tetap, maka bilangan gulungan bukan binomial.
Kesilapan yang menghilangkan markah
Kesilapan lazim ialah melihat “tiga biji gula-gula” dan “5 merah daripada 12” lalu menulis X ~ B(3, 5/12) tanpa membaca bagaimana gula-gula itu diambil. Kerja itu nampak kemas, maka tiada apa yang kelihatan salah.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Baca cara pengambilan | (ditinggalkan) | “satu demi satu, tidak dikembalikan” |
| Uji p malar | Diandaikan | 5/12, kemudian 4/11, kemudian 3/10: tidak malar |
| Model | B(3, 5/12) | Darab kebarangkalian bersyarat |
| P(X = 3) | 0.0723 | 0.0455 |
Pembetulannya ialah menggariskan frasa yang menerangkan bagaimana percubaan itu dilakukan, seperti “dikembalikan”, “secara rawak daripada kelompok besar” atau “secara tidak bersandar”. Frasa itu menentukan sama ada model itu sesuai.
Semak kendiri
Sebuah kotak mengandungi 10 batang pen, dan 4 daripadanya biru. Dua batang pen diambil satu selepas satu dan tidak dikembalikan. Biar X ialah bilangan pen biru. Terangkan mengapa X bukan binomial dan cari P(X = 2).
Jawapan
Pen tidak dikembalikan, maka kebarangkalian biru berubah daripada 4/10 kepada 3/9 pada pengambilan kedua. Pengambilan tidak bersandar, maka X bukan binomial.
P(X = 2) = (4/10) × (3/9) = 12/90 = 2/15 ≈ 0.133.
Sebagai perbandingan, pengiraan binomial yang salah akan memberi (4/10)² = 0.16.
Apa yang dipelajari seterusnya?
Apabila model sudah betul, ada satu jalan pintas yang berbaloi diketahui. Teruskan dengan menggunakan pelengkap bagi kebarangkalian sekurang-kurangnya, kemudian cuba set latihan bagi kelompok ini.
Jika anda mahu guru memberi soalan yang menyembunyikan syarat yang gagal, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.