附加数学 · 概率分布

认出二项分布的条件

公式会背，可是总不确定题目是不是二项，也不知道 p 该是多少。

四个条件同时成立，情境才是二项：试验次数固定、每次只有两种结果、成功概率不变，而且各次试验互相独立。这时就可以写 X ~ B(n, p)，X 数的是成功的次数。

这一课属于概率分布。模型确定之后，计算二项概率教你怎样求出数值。

四个条件是什么？

读题，把每个条件逐一检验。

四个条件都确认了，才写 X ~ B(n, p)。只要有一个不成立，二项模型就是错的工具。

下面是原创的情境。对每一个，判断 X 是不是二项。

情境	n 固定	两种结果	p 不变	独立	二项？
一位同学乱猜 12 道选择题，每题 4 个选项。X = 答对的题数	12	对或错	0.25	是	是，B(12, 0.25)
一个育苗盘有 20 粒种子，每粒发芽的概率是 0.9。X = 发芽的数量	20	是或否	0.9	是	是，B(20, 0.9)
掷一颗骰子，直到出现 6 为止。X = 掷的次数	不固定	6 或不是 6	1/6	是	不是
一位球员投 15 次篮，每次命中后她的命中率都会上升。X = 命中次数	15	中或不中	会变	否	不是
一颗骰子掷 10 次。X = 点数总和	10	六种结果	不适用	是	不是

有两行的原因很清楚：第三行 n 不固定，最后一行每次试验有超过两种结果。

成功是 X 所数的那个事件，而不是你希望出现的结果。这决定了 p 的值。

看一个原创的例子。一包有 25 个灯泡，每个灯泡有瑕疵的概率是 0.04，各个之间独立。设 X 为能用的灯泡数。

每个灯泡能用的概率是 1 − 0.04 = 0.96。所以 X ~ B(25, 0.96)，而不是 B(25, 0.04)。

如果改成设 Y 为有瑕疵的灯泡数，那么 Y ~ B(25, 0.04)。包装和灯泡都没变，变的只是所数的对象，p 也跟着变。

常见的失误，是没有检查 X 数的是什么，就把题目给的概率直接抄进 B(n, p)。

补救的办法是在写符号之前先写一句话：“设 X 为……的数量，所以成功是指……”。这句话逼你让 p 和所数的对象一致。

一枚硬币不均匀，出现人头的概率是 0.6。它被投掷 8 次，每次互相独立。设 X 为出现背面的次数。写出 X 的分布，并指出成功的概率。

答案

X 数的是背面，所以成功是出现背面。P(背面) = 1 − 0.6 = 0.4。

投掷次数固定为 8，每次有两种结果，p 不变，各次独立。

所以 X ~ B(8, 0.4)。

重复的事件如果不符合条件，就要用另一种方法。先看为什么重复的事件不一定是二项模型，再到计算二项概率练习写出概率。

如果希望老师给你情境并请你大声说出每个条件的理由，可以了解附加数学一对一线上补习。

试验次数 n 固定；每次试验只有成功和失败两种结果；成功的概率 p 每次都相同；各次试验互相独立。四个条件缺一不可。

不是。“成功”就是 X 所数的事件。如果 X 数的是有瑕疵的物品，p 就是物品有瑕疵的概率，尽管有瑕疵在现实中是坏事。

写成 X ~ B(n, p)，n 是试验次数，p 是成功的概率。例如 12 次独立试验，成功概率 0.3，就写 X ~ B(12, 0.3)。

会写二项公式，却在 n、p 和“什么算成功”上犹豫？一对一补习的老师可以给新情境，并请学生说出每个条件的理由。