Pengoptimuman mencari nilai terbesar atau terkecil bagi sesuatu kuantiti. Rutinnya: tulis kuantiti itu sebagai fungsi satu pemboleh ubah, bezakan, samakan dengan sifar, uji, dan jawab mengikut konteks.
Pelajaran ini sebahagian daripada bab pembezaan Matematik Tambahan SPM. Ia menggunakan titik pegun dan, untuk kadar perubahan, petua rantai.
Apa rutin penyelesaiannya?
- Namakan kuantiti yang hendak dimaksimumkan atau diminimumkan.
- Tulis dalam sebutan satu pemboleh ubah, menggunakan syarat yang diberi.
- Bezakan dan samakan terbitan dengan sifar.
- Uji dengan terbitan kedua dan semak nilai itu munasabah.
- Jawab dalam ayat dengan unit.
Contoh 1: kotak terbuka
Daripada sekeping kadbod segi empat sama bersisi 12 cm, sebuah segi empat sama bersisi x cm dipotong pada setiap penjuru. Sisi-sisinya dilipat ke atas untuk membentuk kotak terbuka. Cari nilai x yang memberi isi padu terbesar.
Tapak kotak ialah (12 − 2x) kali (12 − 2x), dan tingginya x, maka V = x(12 − 2x)².
Kembangkan: (12 − 2x)² = 144 − 48x + 4x², maka V = 144x − 48x² + 4x³.
Bezakan. dV/dx = 144 − 96x + 12x² = 12(x² − 8x + 12) = 12(x − 2)(x − 6).
Selesaikan. x = 2 atau x = 6. Potongan mesti memenuhi 0 < x < 6, maka x = 6 ditolak kerana tiada tapak tinggal.
Uji. d²V/dx² = 24x − 96. Pada x = 2 nilainya −48, iaitu negatif, maka V ialah maksimum.
Jawapan. Isi padu terbesar ialah 2 × 8² = 128 cm³, apabila setiap potongan 2 cm.
Contoh 2: kadar berkaitan
Jejari sebiji belon sfera bertambah pada kadar 0.5 cm sesaat. Cari kadar pertambahan isi padu apabila r = 3 cm.
V = (4/3)πr³, maka dV/dr = 4πr². Petua rantai memberi dV/dt = dV/dr × dr/dt = 4πr² × 0.5.
Pada r = 3: dV/dt = 4π(9)(0.5) = 18π cm³ sesaat, iaitu kira-kira 56.5 cm³ sesaat.
Kesilapan yang menghilangkan markah
Kesilapan lazim ialah membezakan sebelum ungkapan hanya mempunyai satu pemboleh ubah, atau melangkau ujian dan unit.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Penyediaan | V = x × y × y, bezakan terhadap x | Gantikan pemboleh ubah kedua menggunakan syarat, kemudian bezakan |
| Ujian | “x = 2 memberi maksimum” | d²V/dx² = −48 < 0, maka maksimum |
| Jawapan | 128 | 128 cm³ pada x = 2 cm |
Semak kendiri
Dua nombor positif mempunyai hasil tambah 12. Cari nilai terkecil yang mungkin bagi hasil tambah kuasa dua kedua-dua nombor itu.
Jawapan
Biar nombor itu x dan 12 − x. Maka S = x² + (12 − x)² = 2x² − 24x + 144.
dS/dx = 4x − 24 = 0, maka x = 6. Kemudian d²S/dx² = 4 > 0, maka S ialah minimum.
Hasil tambah kuasa dua minimum ialah 36 + 36 = 72, apabila kedua-dua nombor ialah 6.
Apa langkah seterusnya?
Teruskan dengan perubahan kecil dan penghampiran. Untuk selang terhad, lihat membandingkan titik hujung dan titik pegun dalam pengoptimuman berkekangan.
Jika anda mahu seorang guru membantu anda menulis fungsi daripada ayat soalan, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.