链式法则用来微分括号的幂。从外往里做：先微分外层的幂，保留括号，再乘以里面式子的导数。
这一课属于 SPM 附加数学微分，建立在幂、乘积与商的微分之上。
这条规则怎么说？
若 y = (f(x))ⁿ，则 dy/dx = n (f(x))ⁿ⁻¹ × f′(x)。最后那个因子就是里面式子的导数。
另一种写法用 u 表示里面的式子：若 y 是 u 的函数，而 u 是 x 的函数，则 dy/dx = dy/du × du/dx。
例题一：括号的幂
微分 y = (5x − 1)⁴。
外层：指数 4 落下来，新的指数是 3，得 4(5x − 1)³。内层：5x − 1 的导数是 5。
相乘：dy/dx = 4(5x − 1)³ × 5 = 20(5x − 1)³。
例题二：平方根
微分 y = √(3x + 7)。
改写成 y = (3x + 7)^(1/2)。外层：(1/2)(3x + 7)^(−1/2)。内层：3x + 7 的导数是 3。
所以 dy/dx = (1/2)(3x + 7)^(−1/2) × 3 = 3 ÷ (2√(3x + 7))。
例题三：用 u 来做
令 u = x² − 4，微分 y = (x² − 4)³。
于是 y = u³，dy/du = 3u²，du/dx = 2x。相乘：dy/dx = 3u² × 2x = 6x(x² − 4)²。
求 x = 3 时的梯度：6(3)(9 − 4)² = 18 × 25 = 450。
会丢分的错误
常见的失误是只微分外层，忘了内层。
| 题目 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| (3x + 2)³ 的导数 | 3(3x + 2)² | 3(3x + 2)² × 3 = 9(3x + 2)² |
展开检查一下就能发现。取 (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4，直接微分得 18x + 12 = 6(3x + 2)。
链式法则给出 2(3x + 2) × 3 = 6(3x + 2)，两者相符。漏掉内层的因子 3，就只得到 2(3x + 2)，只有正确答案的三分之一。
自我检查
微分 y = 1 ÷ (3x − 1)²，再求 x = 1 时的梯度。
答案
改写成 y = (3x − 1)^(−2)。
dy/dx = −2(3x − 1)^(−3) × 3 = −6(3x − 1)^(−3) = −6 ÷ (3x − 1)³。
x = 1 时：3x − 1 = 2，所以梯度是 −6 ÷ 8 = −3/4。
接下来学什么
下一步是用导数求梯度，请读求切线与法线。用多项式微分练习器 (英文)练习法则，再用微分练习题测试自己。
想要老师一对一看出你的内层导数是在哪一步被漏掉的，可以看线上一对一附加数学补习。