有效性说的是推理，真实性说的是事实。即使论证无效，结论也可以是真的。
本课属于 证明或推翻日常的数学说法，建立在 用反例检验演绎论证 之上。
“有效”和“为真”有什么不同？
前提为真时，结论必定为真，论证就是有效的。结论符合事实，就是真的。两个概念互相独立，所以有四种组合。
| 结论为真 | 结论为假 | |
|---|---|---|
| 有效的论证 | 可能，前提为真时 | 可能，有前提为假时 |
| 无效的论证 | 可能，靠运气 | 可能 |
右上角最出人意料：从假的前提出发，推理再完美，结论也是假的。
例题：通往同一个答案的两条路
问题：18 是 9 的倍数吗？答案是肯定的，因为 18 = 9 × 2。下面有两个论证得到了这个结论。
论证 A。 所有形如 9k 的数都是 9 的倍数。18 = 9 × 2，形如 9k。所以 18 是 9 的倍数。
这个论证有效，前提也为真。
论证 B。 所有 9 的倍数都能被 3 整除。18 能被 3 整除。所以 18 是 9 的倍数。
结论是真的，论证却无效。
要看出 B 的毛病，把 18 换成 12。前提仍然为真，因为 12 能被 3 整除，但 12 不是 9 的倍数。同样的推理得出了假的结论，所以它对 18 也不可信。
两个论证结论相同，推理的好坏却不一样。只有 A 能拿满分。
推理有效，前提却是假的
看这个论证：“所有质数都是奇数。2 是质数。所以 2 是奇数。”
它的形式与论证 A 相同，所以论证有效。
前提 1 是假的，因为 2 是质数，却是偶数。结论也是假的。有效的推理，无法修补假的前提。
会让你丢分的错误
常见的错误是，以为最终答案正确，就证明过程也正确。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 最终答案 | 18 是 9 的倍数，正确 | 正确 |
| 推理 | 它能被 3 整除，所以必定是 | 它等于 9 × 2 |
| 换成 12 试试 | 没有试 | 前提为真，结论为假 |
| 判定 | 满分 | 推理无效 |
永远要换一个数，看看推理是否依然成立。
自我检测
“所有 4 的倍数都是偶数。20 是偶数。所以 20 是 4 的倍数。”
这个论证有效吗？为这种推理模式，给出一个反例。
答案
论证无效。它从“是偶数”反推到“是 4 的倍数”，而第一个前提并不支持这一步。
保持同样的模式，换一个数：“所有 4 的倍数都是偶数。6 是偶数。所以 6 是 4 的倍数。”
两个前提都是真的，结论却是假的，所以这种推理模式不可靠，即使关于 20 的结论碰巧是真的。
下一步学什么
下一课是 从两个集合的关系写出蕴含。然后用 综合练习 检验这种模式。