这七道题用到 证明或推翻日常的数学说法 里的技能，难度从快速找反例，逐步升到一般性的论证。
打开每一块答案之前，先完整写出自己的答案。
练习题
第 1 题。 说法：“对每个正整数 n，n² 都大于 n。”找一个反例。
答案
取 n = 1。n² = 1，等于 n，并不大于 n。说法不成立，所以 n = 1 是反例。
第 2 题。 说法：“任何两个质数的和都是偶数。”推翻它。
答案
取 2 和 3，两个都是质数。它们的和是 5，是奇数。一对数就够了，所以说法是假的。
第 3 题。 说法：“对每个正整数 n，6n − 1 都是质数。”找出最小的反例。
答案
按顺序试：n = 1 得 5，n = 2 得 11，n = 3 得 17，n = 4 得 23，n = 5 得 29，n = 6 得 35。35 = 5 × 7，不是质数。
最小的反例是 n = 6。
第 4 题。 前提 1：所有 5 的倍数，个位数是 0 或 5。前提 2：35 的个位数是 5。
结论：35 是 5 的倍数。这个论证有效吗？换一个性质，说明这种推理模式会失败。
答案
论证无效：它从“个位数是 5”反推到“是 5 的倍数”，而前提 1 只说 5 的倍数一定有这个个位数，没说反过来也成立。35 确实是 5 的倍数，但那是碰巧，不是推出来的。
换一个性质，就能看出这种推理会出错。
“所有 10 的倍数都是偶数。14 是偶数。所以 14 是 10 的倍数。”前提为真，结论为假。
第 5 题。 设 A = {3, 6, 9}，B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。写出由 A ⊂ B 得到的蕴含、它的逆命题，以及逆命题的一个反例。
答案
蕴含：若 x 在 A 里，则 x 在 B 里。这是真的，因为 A 的每个元素都在 B 里。
逆命题：若 x 在 B 里，则 x 在 A 里。这是假的，因为 1 在 B 里，却不在 A 里。
第 6 题。 在圆上取一至五个点并两两连线，区域数是 1、2、4、8、16。同学说六个点会有 32 个区域。
说明这个规律证明了什么，没有证明什么。
答案
规律提示的是翻倍，但五个情形不能证明它会继续。数出六个点的区域，得到 31 而不是 32，所以翻倍的规律失效。
合适的措辞是：“前五项提示是翻倍，但尚未证明。”
第 7 题。 证明：两个相邻整数的和，永远是奇数。
答案
设两个相邻整数为 n 和 n + 1，n 是整数。
它们的和是 n + (n + 1) = 2n + 1。
这具有“2 × 某个整数 + 1”的形式，所以无论 n 取什么整数，和都是奇数。3 + 4 = 7 这类例子只是支持，代数才是证明。
做错了该复习哪里？
- 第 1 至 3 题：复习 快速找到一个反例。
- 第 4 题：复习 有效论证与碰巧为真的结论。
- 第 5 题：复习 从集合关系写出蕴含。
- 第 6 题：复习 图形不等于证明。
想在计时下重做这一套，可以用 限时练习生成器，并用 错题记录工具 追踪重复的错误。想让老师看你检验说法，可以了解 一对一线上数学补习。