Lapan soalan asli ini bermula daripada mudah hingga sukar. Tulis alasan penuh untuk setiap soalan, kemudian buka jawapan dan bandingkan kaedah anda, bukan hanya keputusan akhir. Set ini sebahagian daripada membuktikan atau menyangkal dakwaan matematik harian.
Soalan 1
Dakwaan: semua nombor perdana ialah nombor ganjil. Cari satu contoh penyangkal.
Jawapan
Nombor 2 ialah nombor perdana, tetapi 2 ialah nombor genap. Contoh ini memenuhi syarat (perdana) dan gagal kesimpulan (ganjil), maka dakwaan itu palsu.
Soalan 2
Dakwaan: bagi semua integer n, n² > n. Cari satu contoh penyangkal.
Jawapan
Cuba n = 1: 1² = 1, dan 1 > 1 palsu. Nombor 1 ialah integer, maka ia memenuhi syarat dan gagal kesimpulan. Dakwaan palsu. Nilai n = 0 juga berfungsi, kerana 0 > 0 palsu.
Soalan 3
Dakwaan: bagi semua integer n, n² − n + 41 ialah nombor perdana. Cari satu contoh penyangkal tanpa menyemak n = 0, 1, 2 dan seterusnya.
Jawapan
Pilih n = 41 supaya setiap sebutan berkongsi faktor 41. Maka 41² − 41 + 41 = 41² = 1 681. Nombor 1 681 = 41 × 41, maka bukan perdana.
Dakwaan palsu. Kaedah ini menggunakan nilai khas dan bukan semakan satu demi satu.
Soalan 4
Biar P ialah set gandaan 10 dan Q ialah set gandaan 5. Tulis implikasi daripada hubungan set, kemudian akasnya, dan tentukan nilai kebenaran kedua-duanya.
Jawapan
Setiap gandaan 10 ialah gandaan 5, kerana 10k = 5(2k). Implikasi: Jika n ialah gandaan 10, maka n ialah gandaan 5, benar.
Akas: Jika n ialah gandaan 5, maka n ialah gandaan 10. Ujian n = 15: gandaan 5, tetapi 15 ÷ 10 = 1.5. Akas palsu.
Soalan 5
Segi empat sama ialah sejenis rombus, dan rombus ialah sejenis segi empat selari. Tulis implikasi yang menghubungkan segi empat sama dengan segi empat selari.
Jawapan
Gabungkan dua implikasi: jika sebuah bentuk ialah segi empat sama, maka ia rombus, dan jika ia rombus, maka ia segi empat selari. Maka jika sebuah bentuk ialah segi empat sama, maka ia ialah segi empat selari.
Implikasi ini hanya benar dari bentuk paling khusus kepada bentuk paling am.
Soalan 6
Semesta ialah 1 hingga 10. A ialah gandaan 3 dan B ialah gandaan 2. Diagram Venn menunjukkan A dan B bertindih hanya pada 6. Adakah A ∩ B = {6} untuk semua integer positif?
Jawapan
Tidak. Diagram hingga 10 hanya mencadangkan persilangan ialah {6}. Nombor 12 ialah gandaan 3 dan gandaan 2, maka 12 juga berada dalam persilangan.
Dalam semua integer positif, persilangan ialah gandaan 6. Diagram kecil tidak membuktikan kes am.
Soalan 7
Sebuah segi empat ABCD mempunyai dua pepenjuru yang sama panjang. Seorang pelajar menyimpulkan ABCD ialah segi empat tepat. Adakah kesimpulan itu terbukti?
Jawapan
Tidak. Sebuah trapezium sama kaki juga mempunyai dua pepenjuru yang sama panjang, tetapi ia bukan segi empat tepat. Maklumat yang diberi tidak mengasingkan kedua-dua bentuk.
Anda perlukan maklumat tambahan, contohnya sudut 90° atau sisi bertentangan yang sama dan selari.
Soalan 8
Dakwaan: jumlah dua nombor ganjil sentiasa ganjil. Sangkal dakwaan ini, kemudian tulis dan buktikan dakwaan yang betul.
Jawapan
Ambil 3 dan 5, kedua-duanya ganjil. Jumlahnya 8, yang genap, maka dakwaan palsu.
Dakwaan yang betul: jumlah dua nombor ganjil ialah genap. Tulis nombor ganjil sebagai 2a + 1 dan 2b + 1. Jumlahnya ialah 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1), iaitu gandaan 2, maka genap untuk semua a dan b. Hujah am ini membuktikan dakwaan untuk semua kes.
Jika jawapan anda salah, pelajaran mana patut diulang?
Jika soalan 1 hingga 3 salah, baca mencari satu contoh penyangkal tanpa menyemak setiap nombor. Jika soalan 4 dan 5 salah, ulang membina implikasi daripada sepasang hubungan set.
Jika soalan 6 dan 7 salah, buka bila rajah hanya mencadangkan keputusan. Untuk soalan 8, baca semula bab penaakulan logik.
Catat ralat dalam log kesilapan dan semakan ralat kertas dan bina sesi berjangka dengan pembina sesi latihan asli berjangka. Untuk bantuan guru pada hujah anda, lihat tuisyen Matematik SPM satu lawan satu.