每个数加上同一个数，数据整体平移，平均值跟着变，离散程度不变。每个数乘以同一个数，平均值和离散程度一起被放大。掌握这两条，就能不重算而预测新的平均值和标准差。
这一课是未分组数据的离散程度的收尾，接在用中心与散布比较数据之后。
三种变动有什么规则？
以一次满分 15 分的小测为例，五位同学的分数是 2、5、6、9、13。
平均值 = 35 ÷ 5 = 7。偏差是 −5、−2、−1、2、6，平方后是 25、4、1、4、36，总和 70。方差 = 70 ÷ 5 = 14，标准差 σ = √14 ≈ 3.74。
| 对每个数做的变动 | 新平均值 | 新方差 | 新标准差 |
|---|---|---|---|
| 加 4 | 7 + 4 = 11 | 14（不变） | √14 ≈ 3.74（不变） |
| 减 3 | 7 − 3 = 4 | 14（不变） | 3.74（不变） |
| 乘以 3 | 7 × 3 = 21 | 14 × 9 = 126 | 3 × 3.74 ≈ 11.22 |
加减只是把整组数据搬到另一个位置，间隔没变。乘法把每个间隔拉长，间隔放大 3 倍，方差是间隔的平方，所以放大 9 倍。
例题：把乘法规则完整核对一次
每个数乘以 3，得到 6、15、18、27、39。
- 平均值 = 105 ÷ 5 = 21，和预测相同。
- 偏差是 −15、−6、−3、6、18，平方后是 225、36、9、36、324，总和 630。
- 方差 = 630 ÷ 5 = 126，和 14 × 9 吻合。
新增或去掉一个数会怎样？
新增一个等于平均值的数。 在原数据里加入 7，共 6 个数，平均值仍是 42 ÷ 6 = 7。
新数的偏差是 0，平方和仍是 70，但现在除以 6，方差变成 70 ÷ 6 ≈ 11.67，比 14 小。
去掉最大的数。 去掉 13，剩下 2、5、6、9。
平均值 = 22 ÷ 4 = 5.5。偏差是 −3.5、−0.5、0.5、3.5，平方后是 12.25、0.25、0.25、12.25，总和 25，方差 = 25 ÷ 4 = 6.25，标准差 = 2.5。离平均值最远的数走了，离散程度大幅下降。
会丢分的两个错误
第一个错误：每个数加 4，就把标准差也加 4。加法不改变间隔，标准差原封不动。
第二个错误：每个数乘以 3，方差也只乘以 3。标准差乘以 3，方差要乘以 3² = 9。两者都可以用描述统计探索器 (英文)自己编一组数来验证。
自我检查
数据 4、6、7、10、13 的平均值是 8，方差是 10。预测以下两种变动后的平均值和方差：(a) 每个数减 3；(b) 每个数先乘以 2，再加 1。
答案
(a) 平均值 = 8 − 3 = 5，方差保持 10。
(b) 平均值 = 8 × 2 + 1 = 17。加 1 不影响离散，乘以 2 让方差乘以 4，所以方差 = 10 × 4 = 40。
核对 (b)：新数据是 9、13、15、21、27，平均值 85 ÷ 5 = 17。偏差是 −8、−4、−2、4、10，平方和 64 + 16 + 4 + 16 + 100 = 200，200 ÷ 5 = 40。
接下来学什么？
先做未分组数据的离散程度练习题，再读怎样选择合适的数据摘要，学会判断一道题该用哪种量数。
想有老师陪你一条条过这些规则，可以看线上一对一数学补习。