数学 · 未分组数据的离散度

计算全距与四分位数间距

全距是最大减最小，一到四分位数就出错。

全距是最大值减最小值。四分位数间距是第三四分位数减第一四分位数，量度中间一半数据的散布。

这一课是未分组数据的离散程度的第一课。下一课求方差与标准差，会从平均值出发量度散布。

四分位数怎么求？

数据：12、15、9、20、18、14、11、16。排序：9、11、12、14、15、16、18、20（共 8 个）。

全距 = 20 − 9 = 11。中位数 = (14 + 15) ÷ 2 = 14.5。下半部是 9、11、12、14，Q1 = (11 + 12) ÷ 2 = 11.5。上半部是 15、16、18、20，Q3 = (16 + 18) ÷ 2 = 17。

四分位数间距 = 17 − 11.5 = 5.5。

数据：3、5、6、8、9、12、15（共 7 个，已排好序）。中位数是第 4 个数，即 8。

去掉中位数后，下半部是 3、5、6，Q1 = 5。上半部是 9、12、15，Q3 = 12。全距 = 15 − 3 = 12，四分位数间距 = 12 − 5 = 7。

把例题二的 15 改成 45：3、5、6、8、9、12、45。全距变成 42，一下子多了 30。可是四分位数仍是 Q1 = 5，Q3 = 12，四分位数间距还是 7。

所以有极端值的时候，更适合用四分位数间距。全距会被那一个很大的数拉走，四分位数间距在这里没有变。

第一是忘了排序，中位数错了，后面全错。第二是把 Q1 当成最大值的四分之一，而不是下半部的中位数。

第三是把四分位数间距算成 Q3 + Q1。填数字之前，先把减法的式子写在试卷上。把自己犯过的错记在错题记录与试卷错误复盘里。

求 7、2、10、4、9、5 的全距和四分位数间距。

答案

排序：2、4、5、7、9、10（共 6 个）。全距 = 10 − 2 = 8。

中位数 = (5 + 7) ÷ 2 = 6。下半部 2、4、5，Q1 = 4。上半部 7、9、10，Q3 = 9。

四分位数间距 = 9 − 4 = 5。

继续学习求方差与标准差。可以用描述统计探索器 (英文)在自拟数据上核对四分位数。

想让老师陪你把偶数和奇数两种情形都走一遍，可以了解一对一线上数学补习。

全距是最大值减最小值。它算起来很快，但只取决于两个数值，所以一个极端值就会改变它。它无法说明中间的数值怎样分布。

它是第三四分位数减第一四分位数，量度的是中间一半数据的散布。极端值对它的影响小得多，所以比全距稳定。

中位数和四分位数是有序数列中的位置。没有排序，中间的位置就是错的。把排好的数列写在试卷上，并核对个数与原来的一样。

按学校课本的做法，并且前后一致。这里的做法是：个数为奇数时，上下两半都不包括中位数。有些课本会两边都包括，请对照你的课本。

如果数据个数一从偶数变成奇数，四分位数就出错，一对一课上老师可以用你自己的数据把两种情形都走一遍，直到分半这一步成为习惯。