当 P 在 AB 上，并且 AP:PB = m:n，P 就是从 A 走向 B 的 m + n 等份中的第 m 份。所以 OP = a + (m/(m + n))(b − a)，其中 a = OA，b = OB。
这一课属于 SPM 附加数学向量单元。请先学平行向量与共线，因为“P 在 AB 上”就是一句共线的话。
AP:PB = 2:3 时怎样求 OP？
先从 O 走到 A，再沿着 AB 走。比例告诉你要沿 AB 走多远。
- AP:PB = 2:3 表示整条线有 2 + 3 = 5 等份，AP 占 2 份，所以 AP = (2/5)AB。
- 写出路线：OP = OA + AP = a + (2/5)AB。
- 把 AB 换成 b − a：OP = a + (2/5)(b − a) = a − (2/5)a + (2/5)b。
- 合并：OP = (3/5)a + (2/5)b。
系数相加是 3/5 + 2/5 = 1，这说明 P 在 AB 上。另外注意，较大的权重在 a 上，因为 P 离 A 较近。
用数字来试试
取 a = (5, 10)，b = (15, 0)。则 OP = (3/5)(5, 10) + (2/5)(15, 0) = (3, 6) + (6, 0) = (9, 6)。
现在检查比例。AP = (9 − 5, 6 − 10) = (4, −4)，PB = (15 − 9, 0 − 6) = (6, −6)。两者长度的比是 4:6，也就是 2:3，和题目吻合。
会丢分的错误
常见的失误是把比例直接当成 AB 的分数，没有把两部分相加。AP:PB = 2:3 时，会写成 AP = (2/3)AB。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| AB 的几分之几 | 2/3 | 2/5 |
| OP | a + (2/3)(b − a) = (1/3)a + (2/3)b | (3/5)a + (2/5)b |
| 用 a = (5, 10)，b = (15, 0) 检验 | (1/3)(5, 10) + (2/3)(15, 0) = (11 2/3, 3 1/3) | (9, 6) |
错误的点给出 AP = (6 2/3, −6 2/3)，PB = (3 1/3, −3 1/3)。长度比是 2:1，不是 2:3，所以一检验就露馅了。
第二个失误是把比例读反。先在图上标出 AP 和 PB，次序照题目所写。
自我检查
点 Q 在 AB 上，AQ:QB = 1:3。用 a 和 b 表示 OQ。
答案
整条线有 1 + 3 = 4 等份，AQ 占其中 1 份，所以 AQ = (1/4)AB。
OQ = OA + AQ = a + (1/4)(b − a) = (3/4)a + (1/4)b。
系数相加是 1，而且 Q 离 A 较近，与 a 的权重较大吻合。
接下来学什么
图形里两条线相交时，需要用两条路线到达同一个点。这正是向量的依赖关系与比例推理的内容，而检查外分比的符号则处理线段之外的点。
如果比例题还像一条死记的规则，线上一对一附加数学补习可以让老师在你的题目上重新推导。应用题结构工作表 (英文)也能帮你在动笔前整理长题目。