对 v = xi + yj，大小是 √(x² + y²)，方向是从 x 轴正方向量起的角度，要结合 tan⁻¹ 和象限草图才能求对。
这一课属于向量单元。学这一课之前，要先会写分量与单位向量形式。
怎样求大小与方向？
每次都照这四步做。
- 大小：|v| = √(x² + y²)。
- 参考角：α = tan⁻¹(|y| ÷ |x|)，永远是锐角。
- 画草图，看向量在哪个象限。
- 方向：第一象限 θ = α；第二象限 θ = 180° − α；第三象限 θ = 180° + α；第四象限 θ = 360° − α。
例题一：第二象限的向量
求 v = −5i + 12j 的大小与方向。
|v| = √((−5)² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13。
参考角是 α = tan⁻¹(12 ÷ 5) = 67.38°。x 是负数，y 是正数，所以向量在第二象限，θ = 180° − 67.38° = 112.6°。
例题二：单位向量，以及由大小和角度写出向量
沿 a = 3i + 4j 的单位向量是 a ÷ |a| = (3i + 4j) ÷ 5 = 0.6i + 0.8j。检验长度：√(0.36 + 0.64) = 1。
再写一个大小为 10、与 x 轴正方向成 30° 的向量：x = 10 cos 30° = 5√3 ≈ 8.66，y = 10 sin 30° = 5，所以向量是 8.66i + 5j。它的大小是 √(75 + 25) = 10。
例题三：和的大小
设 a = 3i + 4j，b = −i + 2j。求 |a + b|。
a + b = 2i + 6j，所以 |a + b| = √(4 + 36) = √40 = 2√10 ≈ 6.32。而 |a| + |b| = 5 + √5 ≈ 7.24，比它大。可见和的大小不等于大小的和。
会丢分的错误
常见的失误是直接用计算器算出的 tan⁻¹(y ÷ x)，当作方向。对 v = −5i + 12j，tan⁻¹(12 ÷ (−5)) = −67.38°，它指向第四象限，而不是第二象限。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 计算器的值 | tan⁻¹(12 ÷ −5) = −67.38° | α = tan⁻¹(12 ÷ 5) = 67.38° |
| 象限 | （没有检查） | x 为负，y 为正：第二象限 |
| 方向 | −67.38° | 180° − 67.38° = 112.6° |
画草图只要几秒钟，却能避免整题答错。每道方向题都要有这一步。
自我检查
求 v = 6i − 6j 的大小与方向。
答案
|v| = √(36 + 36) = √72 = 6√2 ≈ 8.49。
参考角是 tan⁻¹(6 ÷ 6) = 45°。x 为正，y 为负，向量在第四象限：θ = 360° − 45° = 315°，也可以写成 −45°。
接下来学什么
下一项技能是平行向量与共线，会用到你现在会写、会量的向量。也可以先做向量练习题，检查整个单元的掌握情况。
想让老师陪你练习大小与方向，可以看线上一对一附加数学补习。