对 X ~ B(n, p)，均值是 np，方差是 npq，其中 q = 1 − p。标准差是方差的平方根。
怎样正着用公式？
先认出 n 和 p，再代入。设 X ~ B(40, 0.3)，则 q = 0.7。
- 均值 = np = 40 × 0.3 = 12。
- 方差 = npq = 40 × 0.3 × 0.7 = 8.4。
- 标准差 = √8.4 = 2.90（3 位有效数字）。
均值 12 表示长期平均下来，每做一组试验，成功的次数会靠近 12。单独一组通常落在 12 附近，却很少刚好是 12。
例题：求 n 和 p
一个二项变量的均值是 12，方差是 7.2。求 n 和 p。
关键是：方差 ÷ 均值 = npq ÷ np = q。
- q = 7.2 ÷ 12 = 0.6。
- p = 1 − 0.6 = 0.4。
- n = 均值 ÷ p = 12 ÷ 0.4 = 30。
检查：np = 30 × 0.4 = 12，npq = 30 × 0.4 × 0.6 = 7.2。两者都吻合，所以 n = 30，p = 0.4。
怎样用一句话说明均值？
题目可能说，一台机器生产的次品数服从 B(50, 0.08)。均值是 50 × 0.08 = 4，所以一批 50 件里预期约有 4 件次品。
要用“预期”这个词，不要断言刚好会出现 4 件。标准差 √(50 × 0.08 × 0.92) = 1.92，说明一般的一批和 4 相差多远。
最容易丢分的地方
把方差写成 np，就漏了因子 q，方差就和均值一样了。这只有在 q = 1 时才成立，也就是完全没有失败。
检查办法：二项分布的方差一定比均值小，因为 q 小于 1。如果你算出的方差比均值大，就是哪里出错了。
自己试试
一个二项变量的均值是 6，标准差是 2。求 n 和 p。
答案
方差 = 2² = 4。
q = 方差 ÷ 均值 = 4 ÷ 6 = 2/3，所以 p = 1/3。
n = 均值 ÷ p = 6 ÷ (1/3) = 18，p = 1/3。
检查：np = 18 × 1/3 = 6，npq = 18 × 1/3 × 2/3 = 4。
下一步学什么
这一章接下来转向连续的数据。接着学把正态随机变量标准化。应用题结构工作表 (英文)可以帮你从长题目里提取 n 和 p。
如果反推题让你慢下来，可以了解附加数学一对一线上补习。