Terbitan memberi kecerunan tangen pada suatu titik. Dengan titik dan kecerunan itu, anda boleh menulis persamaan garis. Normal menggunakan kecerunan berserenjang melalui titik yang sama.
Pelajaran ini sebahagian daripada bab pembezaan Matematik Tambahan SPM. Langkah persamaan garis berasal daripada garis selari dan berserenjang.
Apa empat langkah kaedahnya?
- Cari titik: gantikan x ke dalam lengkung untuk mendapatkan y.
- Bezakan dan gantikan x untuk mendapatkan kecerunan tangen m.
- Tangen: y − y₁ = m(x − x₁).
- Normal: gunakan kecerunan −1/m melalui titik yang sama.
Contoh 1: tangen dan normal
Cari persamaan tangen dan normal kepada y = x² − 3x + 4 pada titik dengan x = 3.
Titik. y = 9 − 9 + 4 = 4, maka titik itu ialah (3, 4).
Kecerunan. dy/dx = 2x − 3. Pada x = 3, nilainya 3.
Tangen. y − 4 = 3(x − 3), maka y = 3x − 5.
Normal. Kecerunannya −1/3, maka y − 4 = −(1/3)(x − 3). Darabkan dengan 3: 3y − 12 = −x + 3, maka x + 3y = 15.
Semak: (3, 4) terletak pada kedua-dua garis. Bagi normal, 3 + 12 = 15.
Contoh 2: tangen dengan kecerunan diberi
Cari titik pada y = x² − 3x + 4 yang tangennya selari dengan y = 5x − 2.
Kecerunan yang diperlukan ialah 5, maka 2x − 3 = 5, dan x = 4. Kemudian y = 16 − 12 + 4 = 8, jadi titik itu ialah (4, 8).
Semak kecerunan: pada x = 4, dy/dx = 8 − 3 = 5, seperti yang diminta.
Kesilapan yang menghilangkan markah
Dua kesilapan berulang: menggunakan nilai y sebagai kecerunan, dan terlupa tanda negatif apabila menukar kepada normal.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Kecerunan pada x = 3 | y = 4, maka m = 4 | dy/dx = 2(3) − 3 = 3 |
| Kecerunan normal | 1/3 atau −3 | −1/3 |
Kecerunan sentiasa datang daripada dy/dx, bukan daripada nilai lengkung. Ujian pantas: hasil darab kecerunan tangen dan normal ialah −1, dan 3 × (−1/3) = −1.
Semak kendiri
Cari persamaan tangen dan normal kepada y = x³ − 2x pada x = 2.
Jawapan
Titik: y = 8 − 4 = 4, maka (2, 4).
Kecerunan: dy/dx = 3x² − 2 = 12 − 2 = 10.
Tangen: y − 4 = 10(x − 2), maka y = 10x − 16.
Normal: kecerunan −1/10, maka y − 4 = −(1/10)(x − 2). Darabkan dengan 10: 10y − 40 = −x + 2, maka x + 10y = 42. Semak: 2 + 40 = 42.
Apa langkah seterusnya?
Teruskan ke titik pegun dan menguji sifatnya. Untuk versi yang lebih sukar dengan pekali tidak diketahui, cuba menggunakan syarat tangen untuk mencari pekali.
Jika anda mahu seorang guru menyemak kerja tangen dan normal anda, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.