这八道原创题，按四节课的顺序排列。先写出完整的过程，再打开答案。
题目里的 a 和 b 指 OA 和 OB，两者不平行。需要的话，先读由两种写法求未知比例和平行与共线的区别。
题目
第 1 题。 已知 p = (k + 2)i + 9j，q = 2i + 3j，求 k 使 p 平行于 q。
答案
写 p = cq。j 的部分给出 9 = 3c，所以 c = 3。i 的部分给出 k + 2 = 2c = 6，所以 k = 4。
检验：p = 6i + 9j = 3(2i + 3j)。
第 2 题。 已知 A(0, 1)，B(2, 4)，C(6, h)。若 A、B、C 共线，求 h。
答案
AB = (2, 3)，BC = (4, h − 4)。写 BC = cAB：4 = 2c，所以 c = 2。则 h − 4 = 2 × 3 = 6，所以 h = 10。
检验：AC = (6, 9) = 3 × (2, 3)，所以 C 在直线 AB 上。B 是公共点。
第 3 题。 已知 OA = 3a，OC = b，CB = 6a。一位同学写“CB 平行于 OA，所以 O、A、B 共线”。这个结论对吗？
答案
CB = 6a，OA = 3a，所以 CB = 2OA。两个向量平行，这部分是对的。
但 AB = AO + OC + CB = −3a + b + 6a = 3a + b。因为含有 b，它不是 OA = 3a 的倍数。所以 O、A、B 不共线。
第 4 题。 P 在 AB 上，AP:PB = 3:2。用 a 和 b 表示 OP。
答案
总份数是 3 + 2 = 5，所以 AP = (3/5)AB。OP = a + (3/5)(b − a) = (2/5)a + (3/5)b。
检验：系数相加等于 1，而且 P 离 B 较近，与 b 的权重较大吻合。
第 5 题。 M 在 AB 上，并且 OM = μ(2a + b)。求 AM:MB。
答案
路线一：OM = (1 − λ)a + λb。路线二：OM = 2μa + μb。
对比：1 − λ = 2μ，λ = μ。所以 1 − λ = 2λ，得 λ = 1/3。AM = (1/3)AB，所以 AM:MB = 1:2。
检验：OM = (2/3)a + (1/3)b，系数相加等于 1。
第 6 题。 在三角形 OAB 中，M 在 OA 上，OM = (2/3)a，N 是 OB 的中点。线 AN 与 BM 相交于 P。求 OP。
答案
沿 AN：AN = (1/2)b − a，所以 OP = (1 − λ)a + (λ/2)b。沿 BM：BM = (2/3)a − b，所以 OP = (2μ/3)a + (1 − μ)b。
对比：1 − λ = 2μ/3，λ/2 = 1 − μ。由第二条得 λ = 2 − 2μ。则 1 − 2 + 2μ = 2μ/3，(4/3)μ = 1，μ = 3/4。于是 λ = 1/2。
OP = (1/2)a + (1/4)b。
沿 AN 检验：(1 − 1/2)a + (1/4)b = (1/2)a + (1/4)b，吻合。
第 7 题。 R 在 AB 的延长线上、在 B 之外，AR:RB = 5:2。用 a 和 b 表示 OR。
答案
设 AR 长 5t，RB 长 2t。R 在 B 之外，所以 AB 长 5t − 2t = 3t。于是 AR = (5/3)AB。
OR = a + (5/3)(b − a) = −(2/3)a + (5/3)b。
检验：系数相加等于 1。RB = b − r = (2/3)a − (2/3)b = −(2/3)AB，所以长度比是 5/3 : 2/3 = 5:2。a 的系数为负，说明 R 在 B 之外。
第 8 题。 OA = 2a + b，OB = 4a + 3b，OC = 7a + 6b。证明 A、B、C 共线，并求 AB:BC。
答案
AB = OB − OA = 2a + 2b。BC = OC − OB = 3a + 3b。
所以 BC = (3/2)AB。两个向量平行，B 是公共点，所以 A、B、C 共线。
AB = 2(a + b)，BC = 3(a + b)，所以 AB:BC = 2:3。
做错了怎么办？
第 1 至 3 题考的是平行向量与共线。第 4 题和第 7 题用到比例：请读图形中的向量比例，以及检查外分比的符号。第 6 题的解法在用两条路线求交点里。
把每个失误记进错题记录，再用限时练习生成器限时重做。想针对最常出错的题型多练几道新题，可以看线上一对一附加数学补习。