Set ini menggabungkan empat kemahiran dalam topik kebergantungan vektor dan penaakulan nisbah. Cuba setiap soalan di atas kertas sebelum membuka jawapan.
Untuk latihan bermasa, bina sesi dengan pembina sesi latihan asli bermasa.
Soalan
Soalan 1. Titik A(1, 0), B(3, 1), C(5, 2) dan D(7, 4). Nyatakan sama ada A, B, C segaris dan sama ada AB selari dengan CD.
Jawapan
AB = (2, 1) dan BC = (2, 1), jadi AB = BC. Kedua-duanya berkongsi B, maka A, B, C segaris.
CD = (2, 2). Nisbah 2 ÷ 2 = 1 tetapi 2 ÷ 1 = 2, jadi AB tidak selari dengan CD.
Soalan 2. Titik A(2, 1), B(4, 4) dan C(8, k) segaris. Cari k.
Jawapan
AB = (2, 3) dan BC = (4, k − 4). BC = 2AB kerana 4 = 2 × 2.
Maka k − 4 = 2 × 3 = 6 dan k = 10. Semak: BC = (4, 6) = 2(2, 3).
Soalan 3. Dalam segi tiga OAB, OA = a dan OB = b. N terletak pada OB dengan ON : NB = 2 : 1, dan M terletak pada OA dengan OM = 1/3 a.
AN dan BM bersilang di P. Cari OP.
Jawapan
ON = 2/3 b, jadi AN = 2/3 b − a. OM = 1/3 a, jadi BM = 1/3 a − b.
Laluan 1: OP = (1 − λ)a + (2λ/3) b. Laluan 2: OP = (μ/3) a + (1 − μ) b.
Samakan: 1 − λ = μ/3 dan 2λ/3 = 1 − μ. Daripada yang pertama, μ = 3 − 3λ. Gantikan: 2λ/3 = 1 − 3 + 3λ = 3λ − 2, jadi 2 = 7λ/3 dan λ = 6/7.
Maka μ = 3/7. OP = 1/7 a + 4/7 b. Semak: μ/3 = 1/7, 1 − μ = 4/7 dan 2λ/3 = 4/7.
Soalan 4. Diberi a = (1, 1) dan b = (3, 4). Titik P membahagi AB secara luar dalam nisbah 2 : 1. Cari OP dan sahkan AP = −2 PB.
Jawapan
m = 2 dan n = 1, dan m > n, jadi P di luar B. OP = (2b − a) ÷ 1 = (6 − 1, 8 − 1) = (5, 7).
AP = (5 − 1, 7 − 1) = (4, 6) dan PB = (3 − 5, 4 − 7) = (−2, −3). Maka AP = −2 PB, yang mengesahkan.
Soalan 5. Diberi a dan b tidak selari. Jika 4a + hb selari dengan 2a − 3b, cari h.
Jawapan
4a + hb = λ(2a − 3b) = 2λa − 3λb. Samakan pekali a: 4 = 2λ, jadi λ = 2.
Samakan pekali b: h = −3λ = −6. h = −6. Semak: 2(2a − 3b) = 4a − 6b.
Soalan 6. OP = 2a + b, OQ = 4a + 5b dan OR = 7a + 11b. Tunjukkan P, Q dan R segaris dan cari PQ : QR.
Jawapan
PQ = OQ − OP = 2a + 4b. QR = OR − OQ = 3a + 6b.
QR = 3/2 × PQ kerana 3/2 × (2a + 4b) = 3a + 6b. Kedua-duanya berkongsi Q, maka P, Q, R segaris. PQ : QR = 2 : 3.
Soalan 7. OP = (7b − 3a) ÷ 4. Tunjukkan P membahagi AB secara luar dan nyatakan nisbah serta sisi P.
Jawapan
AP = OP − a = (7b − 3a − 4a) ÷ 4 = 7(b − a) ÷ 4 = 7/4 AB.
PB = b − OP = (4b − 7b + 3a) ÷ 4 = 3(a − b) ÷ 4 = −3/4 AB.
AP dan PB bertentangan arah, jadi pembahagian luar. AP : PB = 7 : 3 dalam panjang, dan P di luar B kerana 7 > 3.
Jika anda tersilap, baca yang mana?
- Soalan 1, 2 dan 6: membezakan selari daripada segaris.
- Soalan 3: persilangan dalaman dengan dua laluan.
- Soalan 4 dan 7: tanda nisbah pembahagian luar.
- Soalan 5: vektor selari dan titik segaris.
Catat kesilapan dalam log kesilapan dan semakan ralat kertas. Jika anda mahu guru mengikuti langkah anda, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.