这八道题都是原创的，难度逐题提高：前面用幂法则，后面是积分限、面积、体积和运动。每题先写出完整过程，再打开答案。
题目
第 1 题。 求 ∫ (8x³ − 6x + 5) dx。
答案
逐项积分：8x⁴ ÷ 4 − 6x² ÷ 2 + 5x + c = 2x⁴ − 3x² + 5x + c。
检验：微分得 8x³ − 6x + 5。
第 2 题。 曲线的梯度为 dy/dx = 2x − 6，且经过 (4, 1)。求曲线方程。
答案
y = x² − 6x + c。代入 (4, 1)：16 − 24 + c = 1，所以 c = 9。
方程是 y = x² − 6x + 9。
第 3 题。 计算 ∫ 3√x dx，x 从 1 到 4。
答案
3√x = 3x^(1/2)，积分得 3 × (2/3)x^(3/2) = 2x^(3/2)。
[2x^(3/2)] 从 1 到 4 = 2(8) − 2(1) = 14。
第 4 题。 已知 ∫ (4x + 1) dx，x 从 0 到 k，结果等于 10，且 k > 0，求 k。
答案
[2x² + x] 从 0 到 k，得 2k² + k = 10，即 2k² + k − 10 = 0。
因式分解：(2k + 5)(k − 2) = 0，所以 k = 2 或 k = −5/2。
因为 k > 0，所以 k = 2。检验：2(4) + 2 = 10。
第 5 题。 求 y = 9 − x² 与 x 轴所围成的面积。
答案
曲线在 x = −3 和 x = 3 处与轴相交，两点之间在轴的上方。
面积 = [9x − x³/3]，x 从 −3 到 3 = (27 − 9) − (−27 + 9) = 18 + 18 = 36 平方单位。
第 6 题。 求 y = x² 与 y = 4x − x² 所围成的面积。
答案
令 x² = 4x − x²，得 2x² − 4x = 0，所以 x = 0 或 x = 2。
x = 1 时，第二条曲线是 3，第一条是 1，所以 y = 4x − x² 在上。
面积 = ∫ (4x − 2x²) dx，x 从 0 到 2 = [2x² − 2x³/3] = 8 − 16/3 = 8/3 平方单位。
第 7 题。 y = 2x + 1 下方、x 从 0 到 1 的区域绕 x 轴旋转。以 π 表示，求体积。
答案
V = π ∫ (2x + 1)² dx，x 从 0 到 1 = π ∫ (4x² + 4x + 1) dx。
[4x³/3 + 2x² + x] 从 0 到 1 = 4/3 + 2 + 1 = 13/3。
所以 V = 13π/3 立方单位。
第 8 题。 质点的速度为 v = 12t − 3t² m/s，0 ≤ t ≤ 5。求位移和总路程。
答案
令 F(t) = 6t² − t³。因为 v = 3t(4 − t)，所以 t = 4 时 v = 0。
F(0) = 0，F(4) = 96 − 64 = 32，F(5) = 150 − 125 = 25。
位移 = 25 − 0 = 25 m。
总路程 = |F(4) − F(0)| + |F(5) − F(4)| = 32 + 7 = 39 m。
做错了怎么办？
- 第 1、2 题： 请看求不定积分和积分常数。
- 第 3、4 题： 请看计算定积分。
- 第 5、6 题： 请看求曲线与坐标轴之间的面积和求两条曲线之间的面积。
- 第 7 题： 请看求旋转体的体积。
- 第 8 题： 请看用积分求位移与路程。