Lapan soalan ini ditulis khas untuk laman ini. Ia mengikut susunan bab, jadi soalan awal menggunakan petua kuasa dan soalan akhir menggabungkan had, rantau dan gerakan.
Cuba setiap soalan dengan langkah kerja penuh sebelum membuka jawapan.
Soalan
Soalan 1. Cari ∫ (8x³ − 6x + 5) dx.
Jawapan
Kamirkan sebutan demi sebutan: 8x⁴ ÷ 4 − 6x² ÷ 2 + 5x + c = 2x⁴ − 3x² + 5x + c.
Semak dengan membezakan: 8x³ − 6x + 5.
Soalan 2. Suatu lengkung mempunyai kecerunan dy/dx = 2x − 6 dan melalui (4, 1). Cari persamaannya.
Jawapan
y = x² − 6x + c. Gantikan (4, 1): 16 − 24 + c = 1, maka c = 9.
Persamaannya ialah y = x² − 6x + 9.
Soalan 3. Nilaikan ∫ 3√x dx dari 1 ke 4.
Jawapan
3√x = 3x^(1/2), maka kamirannya 3 × (2/3)x^(3/2) = 2x^(3/2).
[2x^(3/2)] dari 1 ke 4 = 2(8) − 2(1) = 14.
Soalan 4. Diberi ∫ (4x + 1) dx dari 0 ke k bersamaan 10, dan k > 0, cari k.
Jawapan
[2x² + x] dari 0 ke k = 2k² + k = 10, maka 2k² + k − 10 = 0.
Faktorkan: (2k + 5)(k − 2) = 0, maka k = 2 atau k = −5/2.
Oleh sebab k > 0, k = 2. Semakan: 2(4) + 2 = 10.
Soalan 5. Cari luas yang dibatasi oleh y = 9 − x² dan paksi-x.
Jawapan
Lengkung bertemu paksi pada x = −3 dan x = 3, dan berada di atasnya antara keduanya.
Luas = [9x − x³/3] dari −3 ke 3 = (27 − 9) − (−27 + 9) = 18 + 18 = 36 unit persegi.
Soalan 6. Cari luas yang dibatasi oleh y = x² dan y = 4x − x².
Jawapan
Samakan x² = 4x − x², maka 2x² − 4x = 0 dan x = 0 atau x = 2.
Pada x = 1, lengkung kedua memberi 3 dan lengkung pertama memberi 1, maka y = 4x − x² berada di atas.
Luas = ∫ (4x − 2x²) dx dari 0 ke 2 = [2x² − 2x³/3] dari 0 ke 2 = 8 − 16/3 = 8/3 unit persegi.
Soalan 7. Rantau di bawah y = 2x + 1, antara x = 0 dan x = 1, diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu dalam sebutan π.
Jawapan
V = π ∫ (2x + 1)² dx dari 0 ke 1 = π ∫ (4x² + 4x + 1) dx.
[4x³/3 + 2x² + x] dari 0 ke 1 = 4/3 + 2 + 1 = 13/3.
Maka V = 13π/3 unit padu.
Soalan 8. Suatu zarah mempunyai halaju v = 12t − 3t² m/s bagi 0 ≤ t ≤ 5. Cari sesaran dan jarak keseluruhannya.
Jawapan
F(t) = 6t² − t³. Oleh sebab v = 3t(4 − t), v = 0 pada t = 4.
F(0) = 0, F(4) = 96 − 64 = 32 dan F(5) = 150 − 125 = 25.
Sesaran = 25 − 0 = 25 m.
Jarak = |F(4) − F(0)| + |F(5) − F(4)| = 32 + 7 = 39 m.
Jika anda tersilap
- Soalan 1 dan 2: baca kamiran tak tentu dan pemalar c.
- Soalan 3 dan 4: pelajari menilai kamiran tentu.
- Soalan 5 dan 6: kerjakan luas antara lengkung dengan paksi dan luas antara dua lengkung.
- Soalan 7: ulang kaji isi padu janaan.
- Soalan 8: lihat pengamiran, sesaran dan jarak.
Catat setiap silap dalam log kesilapan dan cuba semula selepas beberapa hari. Pembina sesi latihan bermasa boleh menyediakan satu pusingan bermasa.
Untuk guru memerhati langkah kerja anda, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu lawan satu, atau kembali ke bab pengamiran.