曲线与 x 轴之间的面积，是 y 对 x 的积分，遇到曲线穿过 x 轴的地方要分段。轴下方那一段的积分是负数，求面积时取它的正值。
本课属于 SPM 附加数学积分单元，会用到计算定积分。
例题：曲线穿过 x 轴
求曲线 y = x² − 4x + 3、x 轴、直线 x = 0 和 x = 3 所围成的面积。
第 1 步：找交点。 y = (x − 1)(x − 3)，所以曲线在 x = 1 和 x = 3 处与 x 轴相交。在 1 和 3 之间，曲线在轴的下方。
第 2 步：分段积分。 令 F(x) = x³/3 − 2x² + 3x。
F(0) = 0，F(1) = 1/3 − 2 + 3 = 4/3，F(3) = 9 − 18 + 9 = 0。
- 从 0 到 1：F(1) − F(0) = 4/3，在轴上方。
- 从 1 到 3：F(3) − F(1) = −4/3，在轴下方，所以这一段的面积是 4/3。
第 3 步：相加。 总面积 = 4/3 + 4/3 = 8/3 平方单位。
会丢分的写法
常见错误是从 0 到 3 一次积分。这样得到 F(3) − F(0) = 0 − 0 = 0，正负部分互相抵消。0 看上去像个结果，其实不是面积。
| 步骤 | 错误写法 | 正确写法 |
|---|---|---|
| 区间 | 0 到 3 一次积分 | 在 x = 1 处分段 |
| 数值 | 0 | 4/3 和 −4/3 |
| 面积 | 0 | 4/3 + 4/3 = 8/3 |
只要曲线在积分限之间穿过 x 轴，就要在交点处分段。先画一张草图，马上就能看出来。
区域靠近 y 轴时怎么办？
这时要对 y 积分，也就是把 x 写成 y 的式子。求 y = x²、y 轴和直线 y = 4 所围成的面积。
改写成 x = √y，也就是 y^(1/2)。于是：
面积 = ∫ y^(1/2) dy，y 从 0 到 4 = [(2/3) y^(3/2)] = (2/3)(8) − 0 = 16/3 平方单位。
用对 x 的方法检验：区域在长方形 [0, 2] × [0, 4] 内，长方形面积是 8，减去 y = x² 在 0 到 2 下方的面积 8/3，得 8 − 8/3 = 16/3。
一套可以重复用的步骤
- 画出曲线，标出它与坐标轴的交点。
- 把题目描述的区域涂上阴影。
- 在积分限之间的每个交点处分段。
- 每一段分别积分，并取正值。
- 把各段面积相加，写上单位。
多项式积分与面积探索器 (英文)能让你看到带符号的积分和真正的面积有什么不同。
自测
求 y = 6x − x² 与 x 轴所围成的面积。
答案
y = x(6 − x)，所以曲线在 x = 0 和 x = 6 处与 x 轴相交，两点之间在轴的上方。
面积 = [3x² − x³/3]，x 从 0 到 6 = (108 − 72) − 0 = 36 平方单位。
检验：最大值是 x = 3 时的 y = 9，所以区域在 6 乘 9 的长方形内，长方形面积是 54。36 正好是它的三分之二，抛物线的这个比例是对的。
接下来学什么
两条曲线之间的面积要用「上减下」。请继续求两条曲线之间的面积，然后用本章练习检验整章。