这八道题都是原创的，难度逐题提高，从某一时刻的 v 和 a，一直做到带转向点的路程。每题先写出完整过程，再打开答案。
题目
第 1 题。 质点的位移为 s = 5t² − t³ 米。求 t = 2 时的速度和加速度。
答案
v = 10t − 3t²，a = 10 − 6t。
t = 2 时：v = 20 − 12 = 8 m/s，a = 10 − 12 = −2 m/s²。
速度为正而加速度为负，所以质点在减速。
第 2 题。 质点的速度为 v = 6t − 9 m/s，且 t = 0 时 s = 0。求它何时静止，以及那时相对于 O 的位移。
答案
静止：6t − 9 = 0，所以 t = 1.5 s。
s = 3t² − 9t。t = 3/2 时：27/4 − 27/2 = −27/4 m，即 −6¾ m。
质点在 O 的负方向一侧。
第 3 题。 质点的加速度为 a = 6t − 4 m/s²，且 t = 0 时 v = 5 m/s。求 t = 2 时的速度。
答案
v = 3t² − 4t + c，t = 0 时 v = 5，得 c = 5。
所以 v = 3t² − 4t + 5。t = 2 时：12 − 8 + 5 = 9 m/s。
第 4 题。 质点的速度为 v = 3t² − 18t + 24 m/s，0 ≤ t ≤ 5。求位移和总路程。
答案
令 F(t) = t³ − 9t² + 24t。又 v = 3(t − 2)(t − 4)，所以质点在 t = 2 和 t = 4 时静止。
F(0) = 0，F(2) = 8 − 36 + 48 = 20，F(4) = 64 − 144 + 96 = 16，F(5) = 125 − 225 + 120 = 20。
位移 = 20 − 0 = 20 m。
总路程 = 20 + |16 − 20| + |20 − 16| = 20 + 4 + 4 = 28 m。
第 5 题。 质点的速度为 v = (t − 3)² m/s，t ≥ 0。判断质点在 t = 3 时是否静止并改变方向，再求 t = 0 到 t = 3 的位移。
答案
t = 3 时 v = 0，所以是瞬时静止。
但 v 在两侧都不小于零（例如 t = 2 和 t = 4 时 v = 1），符号没有改变，所以没有转向。
位移 = ∫ (t² − 6t + 9) dt，t 从 0 到 3 = [t³/3 − 3t² + 9t] = 9 − 27 + 27 = 9 m。
第 6 题。 质点相对于 O 的位移为 s = t² − 10t + 16 米。求 (a) 它何时经过 O，(b) 它何时静止以及那时的位移，(c) 最初 7 秒的总路程。
答案
(a) s = (t − 2)(t − 8) = 0，所以质点在 t = 2 s 和 t = 8 s 经过 O。
(b) v = 2t − 10 = 0，得 t = 5 s，此时 s = 25 − 50 + 16 = −9 m。
(c) s(0) = 16，s(5) = −9，s(7) = 49 − 70 + 16 = −5。总路程 = |−9 − 16| + |−5 − (−9)| = 25 + 4 = 29 m。
第 7 题。 质点的速度为 v = 2t² − 8t m/s，t ≥ 0。求最小速度。
答案
a = dv/dt = 4t − 8 = 0，得 t = 2。
v 是开口向上的抛物线，在 a 由负变正的地方最小。
v = 8 − 16 = −8 m/s，这就是最小速度。
第 8 题。 汽车刹车，速度为 v = 20 − 5t m/s，0 ≤ t ≤ 4。求它的减速度，以及停下来之前行驶的路程。
答案
a = dv/dt = −5，所以减速度是 5 m/s²。
当 20 − 5t = 0 时，汽车停下，即 t = 4 s。
路程 = ∫ (20 − 5t) dt，t 从 0 到 4 = [20t − 2.5t²] = 80 − 40 = 40 m。
做错了怎么办？
- 第 1 至 3 题： 请看位移、速度与加速度的关系和由速度函数求位移。
- 第 4、6 题： 请看区分总路程与位移。
- 第 5、7 题： 请看解读转向与瞬时静止。
- 第 8 题： 请看用积分求位移与路程。
把每个错误记在错题记录里，过几天再重做。限时练习生成器可以帮你排一轮限时练习。
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