轨迹题给动点 P(x, y) 一条规则，要你写出所有符合规则的点的方程。做法每次都一样：把规则写成长度，平方，代入，化简。
这一课属于 SPM 附加数学坐标几何，依靠斜率、中点与长度的综合运用里的长度公式。
四步做法
- 用文字写出规则，用 PA、PB 等表示长度。
- 把规则写成等式，两边平方去掉根号。
- 把每个平方长度换成 (x − a)² + (y − b)²。
- 展开并化简，得到一条关于 x 和 y 的方程。
最后一定要用检查点验算，只花半分钟，却能发现大部分错误。
例题一：到两点等长
P 移动时 PA = PB，其中 A(2, 1)、B(6, 5)。
两边平方：PA² = PB²。代入：(x − 2)² + (y − 1)² = (x − 6)² + (y − 5)²。
左边展开：x² − 4x + 4 + y² − 2y + 1。右边展开：x² − 12x + 36 + y² − 10y + 25。
相减：8x + 8y − 56 = 0，所以 x + y − 7 = 0。
检查：AB 的中点是 (4, 3)，4 + 3 − 7 = 0。AB 的斜率是 1，轨迹的斜率是 −1，两者垂直，符合预期。
例题二：长度比
P 移动时 PA : PB = 2 : 1，其中 A(0, 0)、B(6, 0)。
PA : PB = 2 : 1 表示 PA = 2PB。两边平方：PA² = 4PB²。
所以 x² + y² = 4[(x − 6)² + y²]。展开：x² + y² = 4x² − 48x + 144 + 4y²，整理得 3x² + 3y² − 48x + 144 = 0，即 x² + y² − 16x + 48 = 0。
配方得 (x − 8)² + y² = 16，是圆心 (8, 0)、半径 4 的圆。
用 P(4, 0) 检查：PA = 4，PB = 2，比是 2 : 1。再用 P(12, 0)：PA = 12，PB = 6。两点都满足规则。
会丢分的错误
比例型的轨迹最容易出错，因为比例很容易写到错误的一边。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 读 PA : PB = 2 : 1 | 2PA = PB | PA = 2PB |
| 平方 | 4PA² = PB² | PA² = 4PB² |
| 检查 P(4, 0) | PA = 4，PB = 2，若按错的式子 8 ≠ 2 | 4 = 2 × 2，成立 |
检查点能立刻暴露比例写反，因为代入后两边不相等。
自我检查
P 移动时 PA : PB = 3 : 1，其中 A(0, 0)、B(4, 0)。求轨迹方程。
答案
PA = 3PB，所以 PA² = 9PB²。
x² + y² = 9[(x − 4)² + y²]。展开：x² + y² = 9x² − 72x + 144 + 9y²。
整理得 8x² + 8y² − 72x + 144 = 0，化简为 x² + y² − 9x + 18 = 0。
检查 P(3, 0)：PA = 3，PB = 1，比是 3 : 1，且 9 − 27 + 18 = 0。配方得 (x − 4.5)² + y² = 2.25，是圆心 (4.5, 0)、半径 1.5 的圆，而 (3, 0) 和 (6, 0) 正是它与 x 轴的交点。
接下来学什么
用坐标几何练习题测试整个单元。想练习解法不明显的综合题，继续读不止一种解法的几何问题。
想要老师一对一出新的轨迹题给你练，可以看线上一对一附加数学补习。应用题结构工作表 (英文)能帮你在动笔前理清条件。