Soalan lokus memberi peraturan bagi titik bergerak P(x, y) dan meminta persamaan yang dipenuhi oleh setiap titik sedemikian. Langkahnya sama setiap kali: tulis peraturan dengan jarak, kuasa duakan, gantikan dan ringkaskan.
Pelajaran ini sebahagian daripada bab geometri koordinat Matematik Tambahan SPM. Ia bergantung pada rumus jarak daripada kecerunan, titik tengah dan jarak bersama-sama.
Empat langkah menyelesaikan lokus
- Tulis peraturan dalam perkataan, menggunakan PA, PB dan seterusnya bagi jarak.
- Tukarkan kepada persamaan dan kuasa duakan kedua-dua belah untuk menghapuskan punca.
- Gantikan setiap jarak kuasa dua dengan (x − a)² + (y − b)².
- Kembangkan dan ringkaskan kepada satu persamaan dalam x dan y.
Akhiri dengan satu titik semakan. Ia mengambil tiga puluh saat dan mengesan kebanyakan kesilapan.
Contoh penyelesaian 1: sama jarak daripada dua titik
P bergerak supaya PA = PB, dengan A(1, 2) dan B(5, 4).
Kuasa duakan kedua-dua belah: PA² = PB². Gantikan: (x − 1)² + (y − 2)² = (x − 5)² + (y − 4)².
Kembangkan sebelah kiri: x² − 2x + 1 + y² − 4y + 4. Kembangkan sebelah kanan: x² − 10x + 25 + y² − 8y + 16.
Tolak: 8x + 4y − 36 = 0, jadi 2x + y − 9 = 0.
Semak: titik tengah AB ialah (3, 3), dan 2(3) + 3 − 9 = 0. Kecerunan AB ialah 1/2 dan lokus mempunyai kecerunan −2, jadi garis itu berserenjang dengan AB, seperti yang dijangka.
Contoh penyelesaian 2: nisbah jarak
P bergerak supaya PA : PB = 1 : 2, dengan A(0, 0) dan B(6, 0).
Peraturan PA : PB = 1 : 2 bermakna 2PA = PB. Kuasa duakan kedua-dua belah: 4PA² = PB².
Jadi 4(x² + y²) = (x − 6)² + y². Kembangkan: 4x² + 4y² = x² − 12x + 36 + y², yang memberi 3x² + 3y² + 12x − 36 = 0, kemudian x² + y² + 4x − 12 = 0.
Melengkapkan kuasa dua memberi (x + 2)² + y² = 16, iaitu bulatan berpusat (−2, 0) dan berjejari 4.
Semak dengan P(2, 0): PA = 2 dan PB = 4, jadi nisbahnya 1 : 2. Juga P(−6, 0): PA = 6, PB = 12. Kedua-duanya memenuhi peraturan.
Kesilapan yang menyebabkan markah hilang
Lokus nisbah ialah tempat pelajar tersilap, kerana nisbah boleh diletakkan di belah yang salah.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Baca PA : PB = 1 : 2 | PA = 2PB | 2PA = PB |
| Kuasa dua | 4PA = PB² | 4PA² = PB² |
| Semak P(2, 0) | PA = 2, PB = 4, nisbah 2 : 1 | nisbah 1 : 2, konsisten |
Titik semakan mendedahkan nisbah yang terbalik serta-merta, kerana jarak keluar dalam susunan yang salah.
Semak kendiri
P bergerak supaya PA : PB = 1 : 3, dengan A(0, 0) dan B(8, 0). Cari persamaan lokus itu.
Jawapan
3PA = PB, jadi 9PA² = PB².
9(x² + y²) = (x − 8)² + y². Kembangkan: 9x² + 9y² = x² − 16x + 64 + y².
Jadi 8x² + 8y² + 16x − 64 = 0, yang diringkaskan kepada x² + y² + 2x − 8 = 0.
Semak dengan P(2, 0): PA = 2, PB = 6, nisbah 1 : 3. Juga (x + 1)² + y² = 9, iaitu bulatan berpusat (−1, 0) dan berjejari 3.
Apa yang perlu dipelajari seterusnya?
Uji keseluruhan bab dengan set latihan geometri koordinat. Untuk masalah bercampur yang pendekatannya tidak jelas, teruskan dengan masalah geometri dengan beberapa pendekatan.
Supaya guru memberi anda peraturan lokus yang baharu dan memerhatikan kerja anda, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.