数学 · 三角比与图像

振幅、周期与图像变换

sin x 旁边多了几个数字，你看不出各自改变了图像的什么。

在 y = a sin bx + c 里，三个数字各自改变图像上看得见的一样东西。a 决定高度，b 决定波多快重复一次，c 把整条曲线抬高或降低。

每个数字有什么作用？

拿每个方程式和基本图像 y = sin x 对比。后者的振幅是 1，周期是 360°，中线是 y = 0。

数字	名称	对图像的作用	怎样读
a	振幅	上下拉伸	最高值比中线高出多少
b	频率因子	左右压缩或拉长	周期 = 360° ÷ b
c	垂直平移	整条曲线上下移动	中线是 y = c

最大值 = c + |a|。最小值 = c − |a|。

这里 a = 3，b = 2，c = −1。逐个来读。

cos 从最高点开始，所以图像从 (0°, 2) 出发。到 45° 时回到中线 −1，90° 时到达最低点 −4。

很多同学把除法写成乘法。对 y = cos 4x，他把周期写成 360° × 4 = 1 440°。

做一个合理性检查。乘以 4 使图像重复得快四倍，所以周期应该变短，而不是变长。

对 y = 5 sin 2x + 3，说出振幅、周期、最大值和最小值。

答案

振幅 = 5，来自 sin 前面的数字。

周期 = 360° ÷ 2 = 180°。

中线是 y = 3。最大值 = 3 + 5 = 8，最小值 = 3 − 5 = −2。

把所有技能放在一起，做三角比综合练习，里面混合了角度、图像和变换。如果错误出在代数，例如除以分数，可以用代数步骤修复训练器 (英文)练习那一步。

想让老师陪你一起练习变换图像，可以看线上一对一数学补习。

它决定振幅，也就是曲线高出和低于中线多少。在 y = 3 sin x 里，曲线最高到 3，最低到 −3。如果是负数，图像还会上下翻转。

对 sin 和 cos，周期 = 360° ÷ b，b 是乘在 x 上的数。y = sin 3x 的周期是 120°。b 越大，波被压得越窄，周期越短。

它把整条图像向上或向下平移。在 y = sin x + 2 里，中线从 0 移到 2，最大值是 3，最小值是 1。振幅和周期不变。

如果变换图像让你靠猜而不是靠读，一对一数学课可以让老师把方程式里的每个数字和它的效果一一对应，直到你看到方程式就能画出草图。