数学 · 三角比与图像

由三角函数图像求角

计算器只给一个角，题目却要你写出范围内所有的角。

要在 0° ≤ x ≤ 360° 内解 sin x = 0.7，先画出图像和水平线 y = 0.7。线和曲线相交的每一个位置，都是一个答案。

怎样找出范围内所有的角？

用计算器求第一个角，再用图像的对称性求第二个角。规则按曲线而不同。

画出 y = sin x 和直线 y = 0.7。直线在 0° 到 360° 之间与曲线相交两次，一次在曲线上升时，一次在下降时。

再看 cos x = 0.2。计算器给 78.46°。cos 曲线对称于 180°，所以第二个角是 360° − 78.46° = 281.54°。答案是 78.5° 和 281.5°。

很多同学只写计算器给的角。例如 tan x = 3，他写 x = 71.6° 就停笔。

题目写“求所有 x 的值”时，分数包括第二个角。

在 0° ≤ x ≤ 360° 内解 cos x = −0.5。

答案

先用正值求参考角：cos⁻¹ 0.5 = 60°。

cos 在第二和第三象限为负，所以 x = 180° − 60° = 120°，以及 x = 180° + 60° = 240°。

在图像上验证：直线 y = −0.5 在轴的下方与曲线相交于 120° 和 240°。

下一课看拉伸图像怎样改变高度和周期，见振幅、周期与简单的图像变换。然后用三角比综合练习测试整个单元，并把错误记在错题记录与试卷错误复盘里。

想让老师检查你解这类方程式的步骤，可以看线上一对一数学补习。

在 −1 和 1 之间的某个高度画一条水平线，会在一个周期里和 sin 或 cos 曲线相交两次。每个交点都是一个满足条件的角，所以范围内有两个答案。

sin 用 180° − α，cos 用 360° − α，tan 用 180° + α。这里的 α 是正值时计算器给的角，图像会告诉你该用哪一条规则。

先用正值求出参考角，再放到该三角比为负的两个象限。sin x = −0.5 会得到 210° 和 330°。

如果你写了计算器的角就停笔，丢掉第二个角的分数，一对一数学课可以让老师训练你画线、数交点的习惯，并用你自己的题目练习。