这八道原创题对应 集合的运算 的四节课。每一题先在纸上画出图，再点开答案。
想限时练习，可以用 限时原创练习生成器。
题目
Q1. 令 ξ = {1, 2, 3, …, 12}，P = {3, 6, 9, 12}，Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12}。写出 P ∩ Q、P ∪ Q 和 (P ∪ Q)′，并求 n(P′)。
答案
P ∩ Q = {6, 12}。P ∪ Q = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}。
(P ∪ Q)′ = {1, 5, 7, 11}。n(P′) = 12 − 4 = 8。
核对：n(P ∪ Q) = 4 + 6 − 2 = 8，12 − 8 = 4，与 (P ∪ Q)′ 的 4 个元素相符。
Q2. 用文字说明集合 A′ ∩ B 包括哪些元素。
答案
A′ ∩ B 是不属于 A 并且属于 B 的元素，也就是只属于 B 的部分。
在文氏图里，它是 B 圈中去掉与 A 重叠的那一块。
Q3. 一个班有 40 位同学：25 位参加棋艺社，18 位参加机器人社，6 位两个社团都没有参加。求两个社团都参加的人数，以及只参加棋艺社的人数。
答案
至少参加一个：40 − 6 = 34。两个都参加：25 + 18 − 34 = 9。
只参加棋艺社：25 − 9 = 16。检查：16 + 9 + 9 + 6 = 40，其中只参加机器人社是 18 − 9 = 9。
Q4. 一个班有 36 位同学：22 位喝奶茶，20 位喝咖啡，8 位两种都不喝。求恰好喝一种的人数。
答案
至少喝一种：36 − 8 = 28。两种都喝：22 + 20 − 28 = 14。
只喝奶茶：22 − 14 = 8。只喝咖啡：20 − 14 = 6。恰好喝一种：8 + 6 = 14。
检查：8 + 14 + 6 + 8 = 36。
Q5. 50 位同学中，20 位参加 A 社，25 位参加 B 社，15 位参加 C 社。n(A ∩ B) = 8，n(B ∩ C) = 6，n(A ∩ C) = 5，三个社团都参加的有 3 位。求三个社团都没有参加的人数。
答案
中心：3。只属于 A 和 B：8 − 3 = 5。只属于 B 和 C：6 − 3 = 3。只属于 A 和 C：5 − 3 = 2。
只属于 A：20 − 5 − 2 − 3 = 10。只属于 B：25 − 5 − 3 − 3 = 14。只属于 C：15 − 3 − 2 − 3 = 7。
圈内合计：10 + 14 + 7 + 5 + 3 + 2 + 3 = 44，圈外是 50 − 44 = 6。公式核对：60 − 19 + 3 = 44。
Q6. 令 F 表示喜欢足球的集合，B 表示喜欢羽毛球的集合。用集合符号写出：(a) 只喜欢足球；(b) 两种都不喜欢；(c) 恰好喜欢一种。
答案
(a) F ∩ B′。(b) (F ∪ B)′，也可写成 F′ ∩ B′。
(c) (F ∩ B′) ∪ (F′ ∩ B)。“恰好一种”要排除两者都喜欢的部分，所以不能只写 F ∪ B。
Q7. 已知 n(ξ) = 30，n(A) = 14，n(B) = 12，n(A ∩ B) = 5。求 n(A′ ∩ B′)。
答案
n(A ∪ B) = 14 + 12 − 5 = 21。
A′ ∩ B′ 就是 (A ∪ B)′，所以 n(A′ ∩ B′) = 30 − 21 = 9。
Q8. 一位同学说：“n(A) = 18，n(B) = 15，n(A ∩ B) = 4，所以 n(A ∪ B) = 18 + 15 = 33。”指出错误，并求正确的值。
答案
n(A) 和 n(B) 都包括重叠的 4 个元素，直接相加会把它们算了两次。
正确的是 n(A ∪ B) = 18 + 15 − 4 = 29。
答错了怎么办？
Q1 和 Q2 出错，回到 读懂并集、交集和补集。Q3、Q4、Q7 和 Q8 出错，回到 解两个集合的文氏图题。
Q5 出错，回到 解三个集合的文氏图题。Q6 出错，回到 把文字叙述转成集合符号。
把每个失误记进 错题记录与试卷错误复盘。想让老师逐步检查你的做法，可以看 一对一线上数学补习。