这八道原创题对应 二次函数与方程 的四节课。每一题都先在纸上完整做一遍，再看答案。
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题目
Q1. 化简下面的式子，判断哪些是二次式：(a) y = 3x² − 5；(b) y = x(x + 4) − x²；(c) y = (x − 1)² + 2x。
答案
(a) 已经是 3x² − 5，是二次式。
(b) x² + 4x − x² = 4x，x² 消掉了，是一次式，不是二次式。
(c) x² − 2x + 1 + 2x = x² + 1，是二次式，a = 1，b = 0，c = 1。
Q2. 解 x² − 7x + 12 = 0。
答案
找乘积是 12、和是 −7 的两个数：−3 和 −4。所以 (x − 3)(x − 4) = 0。
x = 3 或 x = 4。 检查 x = 3：9 − 21 + 12 = 0。
Q3. 解 2x² = 5x + 3。
答案
先让一边等于 0：2x² − 5x − 3 = 0。
分解：(2x + 1)(x − 3) = 0，展开核对：2x² − 6x + x − 3 = 2x² − 5x − 3。
所以 x = −1/2 或 x = 3。
Q4. 解 x² − 9 = 0。
答案
分解为 (x − 3)(x + 3) = 0，所以 x = 3 或 x = −3。
只写 x = 3 会漏掉负根。x² = 9 的平方根有正负两个。
Q5. 函数 y = x² − 2x − 8 的部分对应值：x = −3、−2、0、1、4、5 时，y 分别为 7、0、−8、−9、0、7。根据表格，写出方程 x² − 2x − 8 = 0 的根，以及转折点。
答案
y = 0 出现在 x = −2 和 x = 4，所以根是 −2 和 4。
最小的 y 值是 −9，出现在 x = 1，转折点是 (1, −9)，在两个根 −2 和 4 的正中：(−2 + 4) ÷ 2 = 1。
Q6. 用配方法求 y = x² − 6x + 10 的最小值，写出对称轴，并说明曲线有没有与 x 轴相交。
答案
y = (x − 3)² + 1。最小值是 1，出现在 x = 3，对称轴是 x = 3。
最低点的 y 值是 1，在 x 轴上方，所以曲线不会与 x 轴相交，方程 x² − 6x + 10 = 0 没有实数根。
Q7. 一块长方形菜地的周长是 40 米，长为 x 米，面积为 A 平方米。求菜地最大的面积，以及此时的长。
答案
周长是 40，所以长加宽是 20，宽是 20 − x。面积 A = x(20 − x) = 20x − x²。
a = −1，开口向下，有最大值。令 A = 0，得 x = 0 或 x = 20，最高点在正中，x = 10。
最大面积 A = 10 × 10 = 100 平方米，此时长和宽都是 10 米，是一个正方形。
Q8. 一位同学解 x² − 5x = 14，写成 x(x − 5) = 14，所以 x = 14 或 x − 5 = 14。指出错误并写出正确答案。
答案
错在等号另一边是 14，不是 0。“两个数相乘等于 0，其中一个必为 0”这条规则，在等于 14 时不成立。
正确做法：x² − 5x − 14 = 0，(x − 7)(x + 2) = 0，所以 x = 7 或 x = −2。检查 x = 7：7 × 2 = 14。x = −2：(−2)(−7) = 14。
答错了怎么办？
Q1 出错，回到 从最高次数识别二次式。Q2 到 Q4 和 Q8 出错，回到 解可因式分解的二次方程。
Q5 出错，回到 从二次函数图像读出根。Q6 和 Q7 出错，回到 在应用题中解释转折点。
想让老师检查你的解题过程，可以看 一对一线上数学补习。