二次方程的根，就是曲线 y = ax² + bx + c 与 x 轴相交的点的 x 坐标。读根时只看 y = 0 的位置。
这一课承接 解可因式分解的二次方程，属于 二次函数与方程 单元。
图像上有哪几个重要的点？
以 y = x² − 4x − 5 为例，先列出表格，再画点连线。
| x | −2 | −1 | 0 | 2 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 7 | 0 | −5 | −9 | −5 | 0 | 7 |
表格里的计算：x = −2 时，4 + 8 − 5 = 7。x = 2 时，4 − 8 − 5 = −9。x = 6 时，36 − 24 − 5 = 7。
从图上读出三样东西：
- 与 x 轴相交于 x = −1 和 x = 5，所以方程 x² − 4x − 5 = 0 的根是 −1 和 5。
- 与 y 轴相交于 y = −5，这是 y 截距，不是根。
- 最低点是 (2, −9)，这是转折点，在两个根的正中。
用因式分解核对：(x − 5)(x + 1) = 0，得 x = 5 或 x = −1，与图像一致。
用水平线解另一个方程
同一条曲线还能解别的方程。解 x² − 4x − 5 = 7，意思是找曲线上 y = 7 的点。
在图上画水平线 y = 7，它与曲线相交于 x = −2 和 x = 6，所以这个方程的解是 x = −2 或 x = 6。
代数核对：x² − 4x − 12 = 0，(x − 6)(x + 2) = 0，得 x = 6 或 x = −2，完全一致。
最常见的错误
第一个错误是把 y 截距 −5 当成根。题目问方程 y = 0 的解，要看曲线穿过 x 轴的地方，不是穿过 y 轴的地方。
第二个错误是把转折点的 y 值 −9 当成根，或者题目只问 x 的值，却写成了坐标。
| 错误做法 | 正确做法 | |
|---|---|---|
| 方程 x² − 4x − 5 = 0 的根 | −5（y 截距） | −1 和 5 |
| 画水平线的高度 | 解 x² − 4x − 5 = 7 时画 y = 0 | 画 y = 7 |
| 写答案 | (−1, 0) 和 (5, 0)，题目只问 x 的值 | x = −1 和 x = 5 |
自测题
函数 y = x² − 6x + 5 的部分对应值如下：x = −1、0、1、3、5、6、7 时，y 分别为 12、5、0、−4、0、5、12。根据表格回答：(a) 方程 x² − 6x + 5 = 0 的根；(b) 方程 x² − 6x + 5 = 5 的解；(c) 转折点。
答案
(a) y = 0 出现在 x = 1 和 x = 5，所以根是 1 和 5。
(b) y = 5 出现在 x = 0 和 x = 6，所以解是 x = 0 或 x = 6。核对：36 − 36 + 5 = 5，0 − 0 + 5 = 5。
(c) y 最小是 −4，出现在 x = 3，转折点是 (3, −4)，刚好在根 1 和 5 的正中。
接下来学什么？
转折点在应用题里会有实际意义，例如最大利润或最大高度。继续学 在应用题中解释转折点，也可以用 二次函数图像与根探索器 (英文) 自己改数字看图像怎样变。
想让老师检查你的图像和读数，可以看 一对一线上数学补习。