数学 · 数基

非十进制之间的换算

从十进制换出去你会，题目里没有十进制数时你就卡住了。

要在两种非十进制之间换算，就以十进制作中转：先把原数展开成十进制，再把这个十进制数连除，换成新进制。

这一课属于进制单元，要用到十进制换成其他进制的连除法。余数还不熟练的话，先回去看那一课。

两步路线是什么？

第一步，用原进制的位值把每个数码乘上去，加起来得到十进制数。第二步，用目标进制连除，得到新数。

这是一个原创例子：把2413₅ 换成八进制。

**第一步，展开成十进制。**五进制的位值是125、25、5、1。

2 × 125 + 4 × 25 + 1 × 5 + 3 × 1 = 250 + 100 + 5 + 3 = 358

第二步，连除以8。

从下往上读：2413₅ = 546₈。

检查：5 × 64 + 4 × 8 + 6 = 320 + 32 + 6 = 358，与第一步相符。

最常见的是两步里用错了进制：用8的次方去展开2413₅，或者把358除以5。

另一种是漏掉一个位值，例如写成2 × 25 + 4 × 5 + 1 + 3，丢掉了125，得到的数小得多。

因为8 = 2³，一个八进制数码正好对应三位二进制数码。把10111010₂ 从右起每三位分一组：10 | 111 | 010，最左边补成010。

三组分别是010 = 2，111 = 7，010 = 2，所以10111010₂ = 272₈。

用长路线检查：10111010₂ = 128 + 32 + 16 + 8 + 2 = 186，而2 × 64 + 7 × 8 + 2 = 186。这个捷径只适用于两个进制互为次方的情况，五进制和八进制之间就不能用。

把1302₄ 换成五进制。先展开成十进制，再连除。

答案

四进制的位值是64、16、4、1。

1 × 64 + 3 × 16 + 0 × 4 + 2 × 1 = 64 + 48 + 2 = 114。

114 ÷ 5 = 22余4，22 ÷ 5 = 4余2，4 ÷ 5 = 0余4。

从下往上读是424₅。检查：4 × 25 + 2 × 5 + 4 = 100 + 10 + 4 = 114。

两种换算都掌握后，就可以做进制的加减了。接着看不同进制的加法和减法，或者直接用进制练习题检验自己。

想让老师检查你的书写格式和检查习惯，可以看一对一线上数学补习。

没有简单的直接规则，因为5和8不是同一个数的次方。要先展开成十进制，再把十进制数连除以8，然后从下往上读余数。

先在草稿纸上写出原进制和目标进制。第一步用原进制的位值展开成十进制，第二步除以目标进制。把两步标出来，可以避免除错数。

有。因为8 = 2³，从右起每三位二进制数码分成一组，每组换成一个八进制数码，最左边不足三位就补0。用长路线验证几个数后再使用。

这表示除法或余数出了错。八进制只能有0到7，出现8说明余数写错了，或者某个商没有除尽。

如果你觉得两步太长而省略检查，一对一数学课可以让老师帮你整理书写的格式，使错误在最后一行之前就露出来。