数学 · 数基

十进制换成其他进制

你会连除再倒着读余数，可是说不出这个方法为什么行得通。

把十进制数换成b进制，就是不断除以b，再把余数从下往上读。这些余数就是新数的各位数码。

这是进制单元的第一课。下一课非十进制之间的换算要用到它。

为什么连除法行得通？

五进制的213₅ 表示2 × 25 + 1 × 5 + 3。把它除以5，余数是个位的3，商是2 × 5 + 1 = 11，其余的位都在商里面。

再把11除以5，余数是1，就是五位上的数码，商2是最左边的数码。每除一次，就从右边取走一位。

余数从下往上读：137 = 211₈。

检查：2 × 64 + 1 × 8 + 1 = 128 + 8 + 1 = 137。

八进制的位值有1、8、64、512。512比137大，所以答案有三位。

137里有2个64，剩下137 − 128 = 9。9里有1个8，剩下1。最后是1个1。数码依次是2、1、1，同样得到211₈。

哪种方法顺手就用哪种，有时间就用另一种检查。

第一个错误是把余数从上往下读。137的余数如果这样读，会写成112₈，它等于64 + 8 + 2 = 74，不是137。

第二个错误是商刚小于进制就停下来。137 ÷ 8 = 17余1，17 ÷ 8 = 2余1，如果在商2时就停止，会写成11₈，少了最左边的2。要一直除到商为0。

把130换成五进制：130 ÷ 5 = 26余0，26 ÷ 5 = 5余1，5 ÷ 5 = 1余0，1 ÷ 5 = 0余1。

从下往上读是1010₅。两个0都要写，检查：125 + 0 + 5 + 0 = 130。

把75换成四进制，并换回十进制检查。

答案

75 ÷ 4 = 18余3，18 ÷ 4 = 4余2，4 ÷ 4 = 1余0，1 ÷ 4 = 0余1。

从下往上读是1023₄。

检查：1 × 64 + 0 × 16 + 2 × 4 + 3 = 64 + 8 + 3 = 75。

题目要你从二进制换到五进制时，要先转成十进制，所以这一课是那条路线的前半段。接着学非十进制之间的换算，再学检查进制换算中的位值错误。

想让老师看着你换算，可以看一对一线上数学补习。

每除一次，就去掉一个位值。余数就是那一位上的数码，第一次除得到的是个位。继续除下去，直到商变成0，所有位的数码就都得到了。

从最后一个余数往上读到第一个余数。第一次除得到的是个位，应该写在最右边。从上往下读，数码的顺序就反了。

把0写进去，它在占位。漏写0，左边所有位的位值都会改变，例如300₅ 和3₅ 完全不同。

可以用位值法：列出新进制的各次方，从最大的开始，看每个位值能放几个。两种方法答案相同，用一种做、另一种检查，是很好的习惯。

如果你步骤都会，却常在读余数或遗漏0这一步丢分，一对一数学课可以让老师看着你当场换算，把习惯纠正过来。