数学 · 矩阵

求二阶矩阵的逆矩阵

逆矩阵的形式你记得，符号和分数却老是出错。

二阶矩阵的逆矩阵能把原矩阵“还原”：两者相乘，得到单位矩阵。对第一行(a, b)、第二行(c, d)的矩阵，把a和d对调，b和c变号，再除以ad − bc。

三个步骤是什么？

这个想法和逆函数 (英文)相通：两者都是把某个操作还原，也都靠“操作加上它的逆操作”来检查。

求M的逆矩阵，M的两行是(3, 2)和(4, 3)。

第1步。 行列式 = 3(3) − 2(4) = 9 − 8 = 1。它不是零，所以M有逆矩阵。

第2步。 对调两个3，给2和4变号。得到两行(3, −2)和(−4, 3)。

第3步。 乘以1 ÷ 1，什么也没变。所以M⁻¹的两行是(3, −2)和(−4, 3)。

检查。 M乘以M⁻¹：第1行是3(3) + 2(−4) = 1和3(−2) + 2(3) = 0。第2行是4(3) + 3(−4) = 0和4(−2) + 3(3) = 1。乘积的两行是(1, 0)和(0, 1)，正是单位矩阵。

求N的逆矩阵，N的两行是(2, 1)和(5, 4)。

行列式 = 2(4) − 1(5) = 8 − 5 = 3。

对调并变号，得到两行(4, −1)和(−5, 2)。所以N⁻¹ = 1 ÷ 3乘以这个矩阵，两行是(4/3, −1/3)和(−5/3, 2/3)。

常见的失误，是给错了元素变号。有人把a和d变号，有人把所有元素都变号。

检查一下就能抓到错误。用错误的矩阵相乘，乘积不会是单位矩阵。

取两行(2, 4)和(1, 2)的矩阵。行列式是2(2) − 4(1) = 0。这个矩阵没有逆矩阵。 要把这句话写出来，并列出计算，因为题目两样都要。

求P的逆矩阵并检查答案，P的两行是(5, 2)和(7, 3)。

答案

行列式 = 5(3) − 2(7) = 15 − 14 = 1。

对调并变号：两行(3, −2)和(−7, 5)。除以1没有变化，所以P⁻¹的两行是(3, −2)和(−7, 5)。

检查：PP⁻¹的第1行是5(3) + 2(−7) = 1和5(−2) + 2(5) = 0。第2行是7(3) + 3(−7) = 0和7(−2) + 3(5) = 1。乘积是单位矩阵。

逆矩阵可以用来解方程。接着学用矩阵解联立方程。用二阶矩阵运算辅导器 (英文)练习，并把错误记进错题记录与试卷错误复盘。

如果想让老师在你计算时检查符号，可以了解线上一对一数学补习。

第一行(a, b)、第二行(c, d)的矩阵，逆矩阵是1 ÷ (ad − bc)乘以第一行(d, −b)、第二行(−c, a)的矩阵。把a和d对调，b和c变号，再除以行列式。

第一行(a, b)、第二行(c, d)的矩阵，行列式是ad − bc。它是一个数，矩阵要有逆矩阵，这个数就不能是零。

当ad − bc = 0时。除以零没有意义，所以逆矩阵不存在。要写“没有逆矩阵”，并列出行列式为零的计算。

把矩阵和你的答案相乘。乘积如果是单位矩阵，也就是第一行(1, 0)、第二行(0, 1)，逆矩阵就对了。两种顺序都可以检查。

如果你要慢慢检查才求得对逆矩阵，一对一数学课可以让老师用你自己的矩阵反复练对调与变号，练到考试时也不出错。