附加数学 · 线性定律

用原变量解读线性化模型

直线图你画好了，最后却写不出原来的关系式和解释。

线性定律的图只是用来认识原关系式的工具。最后的分数，常常取决于你能不能换回去：写出常数、预测的值，以及一句说明它们含义的话。

本课是线性定律单元的最后一课，承接由梯度和截距求常数。

怎样换回原变量？

先写下 Y 和 X 原来代表什么，再反过来换算。若 X = x²，则 x = √X。若 Y = lg y，则 y = 10^Y。直线只是通向原关系式的一条整齐的路，它本身不是答案。

机器 t 年后的价值 V（单位 RM）满足 V = a·b^t。lg V 对 t 的图是一条直线，经过 (0, 4.0) 和 (5, 3.5)。

线性形式是 lg V = (lg b)t + lg a。截距 lg a = 4.0，所以 a = 10 000。

梯度是 (3.5 − 4.0) ÷ 5 = −0.1，所以 lg b = −0.1，b = 10^−0.1 = 0.794（三位有效数字）。模型是 V = 10 000 × 0.794^t。

含义：a 是起始价值 RM10 000。b = 0.794 表示机器每年保留约 79.4% 的价值，每年损失约 20.6%。

往前：求 t = 10 时的 V。用直线：lg V = 4.0 − 0.1(10) = 3.0，所以 V = 10³ = RM1 000。

往回：V 何时等于 RM5 000？这时 lg 5 000 = 3.699，所以 4.0 − 0.1t = 3.699，得 t = 3.01 年。

生产 x 件产品的平均成本 C（单位 RM）为 C = a/x + b。C 对 1/x 的图经过 (0.01, 7) 和 (0.05, 11)。

梯度：(11 − 7) ÷ (0.05 − 0.01) = 100，所以 a = 100。代入 (0.01, 7)：7 = 100(0.01) + c，所以 c = 6，即 b = 6。

含义：a = 100 是由所有产品分摊的固定成本，b = 6 是多生产一件的成本。x 变得很大时，C 会接近 6，但永远不会低于 6。

常见错误是从图上读出一个值，就当成原来的量。如果题目给的是 x = 4，而图是 y 对 x²，那么在图上应该用 X = 16，不是 X = 4。

第二种错误是把答案留在 lg V。读者看到「3.0」，根本不知道机器的价值是 RM1 000。

lg y 对 lg x 的图是一条直线，经过 (0, 0.70) 和 (1, 2.70)。关系式是 y = a·x^n。求 a 和 n，再求 x = 3 时的 y。

答案

线性形式是 lg y = n(lg x) + lg a。截距是 0.70，所以 lg a = 0.70，a = 10^0.70 = 5.01。

梯度是 (2.70 − 0.70) ÷ 1 = 2，所以 n = 2。关系式是 y = 5.01x²。

x = 3 时：y = 5.01 × 9 = 45.1。用直线检验：lg y = 0.70 + 2 lg 3 = 1.654，10^1.654 = 45.1。

请用线性定律练习检验整章。线性定律坐标轴探索器 (英文)能让你看到选不同的 Y 和 X，图会怎样变。用错题记录记下哪一步出了问题。

想让老师陪你练习写含义的解释，请了解一对一附加数学补习。

题目问的是原来的量，例如机器的价值或成本，不是 lg V 或 1/x。直线只是求常数的工具，答案要用原变量，并带上单位。

把给定的 x 换成 X，代入直线求出 Y，再换回 y。例如 Y = lg V 时，V = 10^Y。不要把 x 直接当作 X 代入。

结合题目的背景，说明它代表什么，例如起始价值，或每年保留的百分比。一句带单位的话，比只写一个数更容易拿分。

b 是每年保留的比例，0.794 表示保留 79.4%。所以每年损失的比例是 1 − 0.794 = 0.206，也就是约 20.6%。

如果学生常在最后的换算和文字解释上丢分，一对一补习的老师可以用应用题，陪他练到结论完整、带单位。