位移 s、速度 v 和加速度 a 是一条链。从 s 微分得 v，再微分得 a；反过来，从 a 积分得 v，再积分得 s。
本课是 直线运动的起点。它需要用到 t 的幂的微分，倒推时需要用到积分。
三个量各说明什么？
这三个量回答的是质点在直线上运动时的三个不同问题，位置都相对于固定点 O 来量。
| 量 | 含义 | 关系 |
|---|---|---|
| s（位移） | 质点相对于 O 的位置 | s = ∫v dt |
| v（速度） | 多快、朝哪个方向 | v = ds/dt |
| a（加速度） | 速度如何改变 | a = dv/dt |
反过来：v = ∫a dt，s = ∫v dt。每次积分都会多出一个常数，要由题目给的条件求出。
例题：求某一时刻的 s、v、a
质点沿直线运动，t 秒后相对于 O 的位移为 s = t³ − 6t² + 9t 米。求 t = 2 时的 s、v 和 a。
微分一次。 v = ds/dt = 3t² − 12t + 9。
再微分一次。 a = dv/dt = 6t − 12。
代入 t = 2。
- s = 8 − 24 + 18 = 2 m。
- v = 12 − 24 + 9 = −3 m/s。
- a = 12 − 12 = 0 m/s²。
质点在 O 的正方向 2 m 处，以 3 m/s 朝负方向运动，而在这一瞬间速度没有改变。
会丢分的写法
常见的想法是：a = 0，所以质点静止。零听起来像没有动，所以特别容易被误导。
| t = 2 时的读数 | 错误理解 | 正确理解 |
|---|---|---|
| a = 0 | 质点静止 | 速度在这一瞬间不变 |
| v = −3 | 质点在减速 | 质点朝负方向运动 |
| 静止的条件 | a = 0 | v = 0，即 t = 1 和 t = 3 |
这里 v = 3(t − 1)(t − 3)，所以质点在 t = 1 和 t = 3 时静止。t = 2 时它朝负方向的速度最大，加速度恰好经过零。
已知条件时怎样倒推？
如果已知 a，就积分两次，并用条件确定每个常数。设 a = 2t，质点从 O 出发并从静止开始（t = 0 时 v = 0，s = 0）。
v = t² + c₁，t = 0 时 v = 0，得 c₁ = 0，所以 v = t²。
s = t³/3 + c₂，t = 0 时 s = 0，得 c₂ = 0，所以 s = t³/3。
这两个方向的转换，可以配合应用题结构工作表 (英文)，用自己的函数多练几次。
自测
质点的位移为 s = 2t³ − 9t² + 12t 米。求 t = 3 时的 s、v 和 a，并求 a = 0 的时刻。
答案
v = 6t² − 18t + 12，a = 12t − 18。
t = 3 时：s = 54 − 81 + 36 = 9 m，v = 54 − 54 + 12 = 12 m/s，a = 36 − 18 = 18 m/s²。
令 a = 0：12t − 18 = 0，所以 t = 1.5 s。
检验：t = 1.5 时 v = 13.5 − 27 + 12 = −1.5 m/s，所以即使 a = 0，质点也没有静止。