分数指数是根和乘方的结合：a^(m/n) 表示先取 a 的 n 次根，再把结果乘方 m 次。把分数这样读，普通的指数定律照样适用。
这一课属于 SPM 附加数学：指数、根式与对数。下一课 化简与有理化根式，把同样的想法用到根上。
这些定律在说什么？
把下面六条放在一起记。每一条的考法不同，所以要成套地练。
| 定律 | 例子 |
|---|---|
| aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ |
| aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ |
| (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ |
| a^(1/n) = ⁿ√a | 49^(1/2) = 7 |
| a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ | 8^(2/3) = 2² = 4 |
| a^(−n) = 1 ÷ aⁿ | 2^(−3) = 1/8 |
示范：求分数次方之积
求 27^(2/3) × 4^(−1/2) 的值。
第一个因子。 分母 3 表示立方根，分子 2 表示平方。∛27 = 3，再 3² = 9。
第二个因子。 负号表示倒数，1/2 表示平方根。4^(−1/2) = 1 ÷ √4 = 1/2。
相乘：9 × 1/2 = 4.5，也就是 9/2。
会丢分的错误
常见的错误，是把 8^(2/3) 读成 8 × 2 ÷ 3。分数在次方的位置上，看起来好像合理，但次方从来不是乘数。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 读这个分数 | 8 × 2/3 = 16/3 | 根是 3，次方是 2 |
| 开根 | （跳过） | ∛8 = 2 |
| 乘方 | （跳过） | 2² = 4 |
| 答案 | 16/3 | 4 |
一个快速的测试：8^(1/3) 必须是自己乘三次得到 8 的那个数，也就是 2，不是 8 ÷ 3。
用同底法解方程
当未知数在次方上，先把两边写成同一个底。底相同，次方就必须相等。
解 4^(x+1) = 8^x。
- 写出 4 = 2² 和 8 = 2³。
- 那么 (2²)^(x+1) = (2³)^x，即 2^(2x+2) = 2^(3x)。
- 底相同，所以 2x + 2 = 3x，得 x = 2。
- 检验：4³ = 64，8² = 64。
分数次方也会和代数一起出现。化简 (16x⁸)^(3/4)：16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8，(x⁸)^(3/4) = x⁶。所以答案是 8x⁶。
想测试自己的题目，可以用 应用题结构练习表 (英文)，开始之前先把多步骤的题目整理清楚。
自我检查
化简 32^(3/5) ÷ 2^(−2)，然后解 9^x = 27^(x−1)。
答案
32^(3/5) = (⁵√32)³ = 2³ = 8。又 2^(−2) = 1/4，所以 8 ÷ (1/4) = 8 × 4 = 32。
解方程：写出 9 = 3² 和 27 = 3³，得 3^(2x) = 3^(3(x−1)) = 3^(3x−3)。
所以 2x = 3x − 3，x = 3。检验：9³ = 729，27² = 729。
接下来学什么？
不是完全平方或立方的数，要用别的工具处理根。继续学 化简与有理化根式，再试 本章练习。
如果希望老师用你自己的错误来讲解指数题，请见 线上一对一附加数学补习。错题记录与试卷错误检讨 可以帮你记下是哪一步出错。