复合函数，就是把一个函数作用在另一个函数的输出上。在 fg(x) 里，先做 g，再做 f，所以 fg(x) = f(g(x))。
本课属于 SPM 附加数学的函数。如果函数符号本身还不顺手，请先读函数符号、定义域与值域。
fg(x) 里哪个函数先做？
最靠近 x 的先做。动手之前，先把 fg(x) 改写成 f(g(x))，再由里向外算。
可以想成穿鞋袜：写成「鞋(袜(脚))」，鞋写在最前面，但袜子先穿。
例题：同一对函数，两种顺序
取 f(x) = 2x + 3，g(x) = x²。
求 fg(x)。 改写成 f(g(x))，把 f 里的每个 x 换成 g(x)：
f(g(x)) = 2(x²) + 3 = 2x² + 3
求 gf(x)。 改写成 g(f(x))，把 g 里的每个 x 换成 f(x)：
g(f(x)) = (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9
两个答案是不同的函数。用数字验证：x = 2 时，fg(2) = 2(4) + 3 = 11，而 gf(2) = (7)² = 49。
会丢分的写法
常见的错误是求 gf(x) 时，先把 x 平方，再乘二加三，写成 2x² + 3。这其实是 fg(x) 的答案，过程又写得整齐，所以检查时很难发现。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 改写 gf(x) | （省略） | g(f(x)) |
| 内层函数 | g 先作用 | f 先作用：2x + 3 |
| 外层函数 | f 作用于 x² | g 对整个输出平方 |
| 结果 | 2x² + 3 | 4x² + 12x + 9 |
补救办法很机械：永远先写嵌套的形式，再把整个内层式子加上括号，代入外层的规则。
由复合函数求未知函数
SPM 常常给出复合函数，要你求其中一个函数。有两种情况，方法不同。
情况一：未知的在内层。 已知 f(x) = 2x − 1，fg(x) = 6x + 5，求 g(x)。
- 写出 f(g(x)) = 2g(x) − 1。
- 令它等于复合函数：2g(x) − 1 = 6x + 5。
- 解出 g(x)：2g(x) = 6x + 6，所以 g(x) = 3x + 3。
- 验算：f(3x + 3) = 2(3x + 3) − 1 = 6x + 5，吻合。
情况二：未知的在外层。 已知 g(x) = x + 2，fg(x) = 3x + 1，求 f(x)。
- 写出 f(x + 2) = 3x + 1。
- 令 u = x + 2，所以 x = u − 2。
- 代入：f(u) = 3(u − 2) + 1 = 3u − 5。
- 把变量换回 x：f(x) = 3x − 5。验算：f(x + 2) = 3(x + 2) − 5 = 3x + 1。
情况二最容易卡住，因为需要代换这一步。想检验自己的函数组合，可以用复合与反函数探索器 (英文)，它会并排显示两种顺序。
自测
已知 f(x) = 3x − 1，g(x) = x + 4，求 fg(x)，再解 fg(x) = 20。
答案
fg(x) = f(g(x)) = 3(x + 4) − 1 = 3x + 11。
解 3x + 11 = 20，得 3x = 9，x = 3。
由内向外验算：g(3) = 7，再 f(7) = 3(7) − 1 = 20。
接下来学什么
反函数直接建立在本课之上，因为 f⁻¹f(x) = x 就是一个复合函数。请继续读求有定义域限制的反函数，然后用函数练习题检验整章。
想请老师和你一起练复合与反函数题，可以了解线上一对一附加数学补习。