这八道题依照不止一种解法的几何问题编排。先在纸上写出答案，并附上一句话的方法理由，再打开解答。
题目
1. 证明三角形 P(−2, 1)、Q(1, 5)、R(5, 2) 在 Q 处是直角。
答案
PQ 的斜率 = (5 − 1) ÷ (1 + 2) = 4/3。QR 的斜率 = (2 − 5) ÷ (5 − 1) = −3/4。乘积是 −1，所以 PQ ⊥ QR。
理由：点以数字给出，题目讲的是垂直线，所以用斜率。
2. 选择坐标法或向量法，并写出理由：(a) 求经过两个已知点的直线的斜率。(b) 已知 OP = 2a + 4b、OQ = a + 2b，证明 O、P、Q 共线。
答案
(a) 坐标法，因为斜率直接由两点的坐标得出。(b) 向量法，因为数据是字母，OP = 2OQ，所以 O、P、Q 共线。
3. A(0, 1)、B(4, 0)、C(7, 4) 是平行四边形 ABCD 的三个顶点。求 D。
答案
平行四边形的两条对角线有共同的中点，所以 D = A + C − B = (0 + 7 − 4, 1 + 4 − 0) = (3, 5)。
检查：AC 的中点是 (3.5, 2.5)，BD 的中点是 ((4 + 3) ÷ 2, (0 + 5) ÷ 2) = (3.5, 2.5)。
4. 求第 3 题中平行四边形 ABCD 的面积。
答案
按顺序的顶点：A(0, 1)、B(4, 0)、C(7, 4)、D(3, 5)。第一个总和：0 × 0 + 4 × 4 + 7 × 5 + 3 × 1 = 54。第二个总和：1 × 4 + 0 × 7 + 4 × 3 + 5 × 0 = 16。
面积 = ½ × |54 − 16| = 19 平方单位。检查：AB = (4, −1)，AD = (3, 4)，4 × 4 − (−1) × 3 = 19。
5. 线段 AB 的端点是 A(1, 3) 和 B(4, 9)，在直线 y = 2x + 1 上。直线 2x + y = 11 和 x + y = 40，哪一条与线段相交？
答案
对 2x + y = 11：2x + 2x + 1 = 11，得 x = 2.5，y = 6。因为 1 ≤ 2.5 ≤ 4，这条直线与线段相交于 (2.5, 6)。
对 x + y = 40：3x + 1 = 40，得 x = 13，y = 27。因为 13 超出 1 ≤ x ≤ 4，这条直线不与线段相交。
6. 直线 y = x − 1 与曲线 y = x² − 4x + 5 相交。求离 y 轴较远的那个点。
答案
令两式相等：x² − 5x + 6 = 0，即 (x − 2)(x − 3) = 0，得 x = 2 或 3。交点是 (2, 1) 和 (3, 2)。
离 y 轴较远的是 (3, 2)。检查：曲线得 9 − 12 + 5 = 2，直线得 3 − 1 = 2。
7. A(−4, 1)、B(4, 5)。点 P 在 AB 上，AP : PB = 3 : 1。求 P，以及经过 P 且垂直于 AB 的直线方程。
答案
P = ((1 × (−4) + 3 × 4) ÷ 4, (1 × 1 + 3 × 5) ÷ 4) = (2, 4)。向量检查：A + ¾AB = (−4, 1) + ¾(8, 4) = (2, 4)。
AB 的斜率 = 4 ÷ 8 = 1/2，所以垂直线的斜率是 −2。直线是 y − 4 = −2(x − 2)，即 y = −2x + 8。
8. 直线 y = 4x + k 与曲线 y = x² − 2x + 7 相切。求 k 和切点。
答案
令两式相等：x² − 6x + (7 − k) = 0。判别式：36 − 4(7 − k) = 0，所以 36 − 28 + 4k = 0，k = −2。
此时 x² − 6x + 9 = 0，x = 3，y = 9 − 6 + 7 = 10。用直线检查：12 − 2 = 10。切点是 (3, 10)。
做错了怎么办？
- 第 1 至 4 题和第 7 题：重读选择坐标法还是向量法。
- 第 5、6 题：读用限制条件检验交点。
- 第 8 题：读直线与曲线相切时求参数。
- 第 4 题的面积，复习坐标求面积。
用限时练习生成器和错题记录继续练习。想让老师检查你的理由，可以看线上一对一附加数学补习。