附加数学 · 弧度制与圆的度量

扇形中的阴影区域

扇形你会求，但阴影部分是另一种形状。

阴影区域多数是一个图形减去另一个图形，所以第一步是给各个部分命名。弓形是扇形减三角形，环形扇面是大扇形减小扇形。

怎样拆分阴影区域？

先画图，标出每个部分，再判断阴影面积是各部分相加还是相减。然后用各自的公式求出每一部分。

扇形 OAB 的半径是 8 cm，圆心角是 1.5 弧度。求弦 AB 与弧之间的阴影弓形的面积和周长。

用直接公式核对：½r²(θ − sinθ) = 32 × (1.5 − 0.9975) = 32 × 0.5025 = 16.08。

求周长：弧长是 8 × 1.5 = 12 cm，弦长是 2 × 8 × sin 0.75 = 16 × 0.6816 = 10.91 cm。周长是 12 + 10.91 = 22.91 cm。

两个扇形共用圆心 O 和圆心角 1.2 弧度。内半径是 5 cm，外半径是 8 cm。

环形扇面的面积：½(8² − 5²) × 1.2 = ½ × 39 × 1.2 = 23.4 cm²。

常见的失误是忘了减去三角形，把扇形当成了弓形。

草图上的弓形只是薄薄的一片，所以 48 cm² 不可能对。拿答案和草图比一比，是最快的检查。

一个扇形的半径是 10 cm，圆心角是 π/6。求弓形的面积，答案取 2 位小数。

答案

面积 = ½r²(θ − sinθ) = 50 × (π/6 − sin(π/6))。

π/6 = 0.5236，sin(π/6) = 0.5，括号里是 0.0236。

面积 = 50 × 0.0236 = 1.18 cm²（2 位小数）。这是一片很薄的弓形，大小合理。

最后一课是单位统一的圆的度量应用题，加入现实情境。然后用圆的度量练习题测试整个单元。

应用题结构工作表 (英文)能帮你把图形拆成几个部分。想要老师一对一带你练拆分，可以看线上一对一附加数学补习。

弓形等于扇形减去由两条半径和弦围成的三角形。当 θ 是弧度时，面积是 ½r²θ − ½r²sinθ，也就是 ½r²(θ − sinθ)。先画出扇形和三角形，看清楚哪一部分被减去。

弓形的边界是弧加上弦，弦长是 2r sin(θ/2)。两条半径不在边界上，把它们加进去是常见的失误。求和之前，先列出每一段边界。

用大扇形减小扇形：½R²θ − ½r²θ = ½(R² − r²)θ。外半径记作 R，内半径记作 r。周长则要加上两段弧和两条直边。

很可能是计算器在度数模式。θ 是弧度时，先把计算器调到弧度模式再取 sinθ。重新计算，并和大小估计比较。

如果每个图形单独都会求，遇到阴影区域就卡住，一对一的老师可以问你这个区域由什么组成，引导你找到拆分的方法。