附加数学 · 方程组

三元一次联立方程的解法

只会两个未知数，多一个就乱成一团。

解三元一次方程组的办法是：从两组不同的方程中消去同一个未知数，解出剩下的两个，再回代求第三个。

这一课属于联立方程单元。如果二元消元还不稳，可以先读选择代入法或消元法。

这套步骤怎么走？

先把三条方程编号为 (1)、(2)、(3)，每次都照同样的次序做。

解：x + y + z = 6 (1)；2x − y + z = 3 (2)；x + 2y − z = 2 (3)。

第一步。 (1) 加 (3) 消去 z：2x + 3y = 8 (4)。

第二步。 (2) 加 (3) 消去 z：3x + y = 5 (5)。

第三步。 由 (5) 得 y = 5 − 3x。代入 (4)：2x + 3(5 − 3x) = 8，即 2x + 15 − 9x = 8，所以 −7x = −7，x = 1，y = 2。

第四步。 由 (1)：z = 6 − 1 − 2 = 3。

检验。 (2)：2 − 2 + 3 = 3。(3)：1 + 4 − 3 = 2。答案是 x = 1，y = 2，z = 3。

解：3x + y − z = 8 (A)；x − 2y + z = −3 (B)；2x + y + 2z = 9 (C)。

(A) 加 (B)：4x − y = 5 (D)。再用 (C) − 2 × (B)：(2x + y + 2z) − (2x − 4y + 2z) = 5y = 15，所以 y = 3，一步就得到一个未知数。

代入 (D)：4x − 3 = 5，所以 x = 2。由 (A)：6 + 3 − z = 8，得 z = 1。检验 (B)：2 − 6 + 1 = −3。检验 (C)：4 + 3 + 2 = 9。

动笔之前先看一看，有没有一种组合能同时消去两个未知数。这样可以省下一整步。

常见的失误是：一组方程消去 z，另一组却消去 x。这样得到的两条新方程含有不同的未知数，没办法联立求解。

一个简单的习惯是：在每条新方程旁边写上“(4) 已消去 z”，让每条方程对应哪两条原方程一目了然。

解：x + y + z = 9；2x − y + z = 5；x + 2y − z = 4。

答案

编号为 (1)、(2)、(3)。(1) 加 (3)：2x + 3y = 13 (4)。(2) 加 (3)：3x + y = 9 (5)。

由 (5) 得 y = 9 − 3x。代入 (4)：2x + 3(9 − 3x) = 13，即 2x + 27 − 9x = 13，所以 −7x = −14，x = 2，y = 3。

由 (1)：z = 9 − 2 − 3 = 4。检验 (2)：4 − 3 + 4 = 5。检验 (3)：2 + 6 − 4 = 4。答案是 x = 2，y = 3，z = 4。

下一课看方程里出现平方项时，方法要怎样调整：一条线性方程与一条非线性方程。然后用联立方程练习题测试整个单元。

想让老师陪你做三个未知数的题目，可以看线上一对一附加数学补习。

选定一个未知数，从两组不同的方程中把它消去。这样就得到只含两个未知数的两条方程，先照平常的办法解出这两个，再回代求第三个。

选系数最容易对上的那个，例如系数是 1，或者正负号刚好相反的。要注意两组方程必须消去的是同一个未知数。

这表示三条方程没有共同的解。先重新检查计算，如果确认没有算错，就写明此方程组无解。

把 x、y、z 代入三条原方程，包括最后没有用到的那一条。只检验一条方程，不能发现所有失误。

如果第三个未知数总是让你的算式出错，一对一的老师可以看着你每一步消元，找出是哪一行出了问题。